§ 9. Отображения и их свойства

Отображением множества X во множество Y называется правило, по которому каждому элементу множества X ставится в соответствие один или несколько элементов множества Y.

Пример. Пусть X - это множество современных отечественных актёров кино, а Y - это множество современных отечественных кинофильмов. Актёру x ставится в соответствие фильм y, если актёр x снимался в фильме y. Один актёр мог сниматься в нескольких фильмах, и, наоборот, в одном фильме может быть занято несколько актёров.

Однозначным отображением  множества X во множество Y называется правило, по которому каждому элементу множества X ставится в соответствие единственный элемент из множества Y.

Пример. Пусть X - это множество студентов очного обучения г.Мурманска, а Y - это множество вузов г. Мурманска. Студенту x ставится в соответствие ВУЗ y, если студент x учится в вузе y. Очевидно, один студент учится только в одном вузе, тогда как в каждом вузе может учиться несколько студентов.

В дальнейшем речь пойдёт только об однозначных отображениях, поэтому слово “однозначное” применительно к отображению будем опускать. При отображении  соответствие между элементами xX и yY записывается равенством y= (x), а самому отображению соответствует запись : XY. Множество X есть область определения отображения, а Y - область его значений.

Если X={x₁,x₂,...,x_n}, то отображение : XY может быть представлено в виде двустрочной записи:

 =,

где (x_i)Y, i=1,2,...,n.

Пример 1.4. Отображение : XY, где X={1,2,3,4,5}, Y={a,b,c}, может быть задано так:

 =.

Два отображения ₁: X₁Y₁ и ₂: X₂Y₂ равны, если они имеют одинаковые области определения: X₁=X₂, одинаковые области значений: Y₁=Y₂ и ₁(x)= ₂(x) для любого xX.

Множество ^-1(y)={x/ y=(x), xX}называется полным прообразом элемента y при отображении .

Пример. Выпишем полные прообразы для каждого элемента из области значений в примере 1.4: ^-1(a)={1,2,5}, ^-1(b)={3}, ^-1(c)={4}.

Отображение : XX множества X в себя называется преобразованием множества X.

Пример. Пусть X={0,1,2,3,4}, (x)=(x+1) mod 3. Тогда двустрочная запись такого преобразования имеет вид:

 = .

Свойства отображений

1. Отображение : XY называется сюръективным, если каждый элемент yY имеет хотя бы один прообраз при этом отображении. Иными словами, для любого yY найдётся такой элемент xX, что y=(x). Значит, для любого yY ^-1(y)  и мощность полного прообраза обязательно больше нуля: | ^-1(y) |  1.

Для конечных множеств X и Y сюръективность отображения означает, что мощность множества X не меньше мощности множества Y, т.е. |X|  |Y|.

Примеры.

а) В примере 1.4  - сюръективное отображение.

б) Пусть множество Y - это множество благополучных (посещающих лекции и пишущих конспекты) студентов в группе, а множество X - это множество конспектов, написанных этими студентами за семестр. Отображение : XY является сюръективным, так как каждый конспект имеет только одного “хозяина”, а каждый студент написал не менее одного конспекта.

2. Отображение : XY называется инъективным, если для любого yY его полный прообраз содержит не более одного элемента, т.е. для любых xx₁, x,x₁X, (x)(x₁). В этом случае для любого yY мощность его полного прообраза не больше единицы: | ^-1(y) |  1.

Для конечных множеств X и Y инъективность отображения означает, что мощность множества X не больше мощности множества Y, т.е. |X|  |Y|.

Примеры.

а) В примере 1.4  - не инъективно ( |^-1(a)| = 3 > 1).

б) Отображение ₁: {1, 2, 3}{m, n, p, q} вида ₁ =инъективно.

в) Пусть множество Y - это множество совершеннолетних законопослушных жителей г.Мурманска на 1 января 2001 года, а множество X - это множество выданных им водительских прав. Отображение : XY является инъективным, так как у каждых водительских прав только один владелец, но не каждый гражданин имеет водительские права, а если имеет, то только одни права (в силу своей законопослушности).

3. Отображение : XY называется биективным, если оно одновременно сюръективно и инъективно.

Из сюръективности следует, что | ^-1(y) |  1 для любого yY; из инъективности вытекает условие | ^-1(y) |  1 для каждого yY. Следовательно, биективность отображения означает, что | ^-1(y) | = 1 для любого yY, т.е. условие y=(x) для каждого yY однозначно определяет единственное значение xX.

Примеры.

а) В примере 2.4  не является биективным отображением, т.к. оно не инъективно.

б) Отображение : {1, 2, 3, 4}{m, n, p, q} вида ₁ = биективно.

в) Пусть множество Y - это множество студентов в МГТУ на 1 января 2001 года, а множество X - это множество зачётных книжек, выданных этим студентам. Отображение : XY является биективным, так как у каждого студента имеется своя “зачётка”, причём только одна.

Биективное отображение  устанавливает взаимно однозначное соответствие между множествами X и Y. Когда X и Y конечны, это означает равенство их мощностей: |X| = |Y|. Этот факт, во-первых, позволяет установить равенство мощностей двух множеств, не вычисляя этих мощностей, а во-вторых, часто даёт возможность вычислить мощность множества, установив его взаимно однозначное соответствие с множеством, мощность которого известна или легко вычисляется.