Раздел 4. Словарь терминов (глоссарий) Элементы теории множеств

Вектор

Декартово произведение

Множество

Операции над множествами

дополнения

объединения

пересечения

разности

Отношение

бинарное

порядка

эквивалентности

Элемент множества

Конечные графы

Вершина графа

Граф

базисный

гамильтонов

двудольный

изоморфный

неориентированный

нулевой

однородный (регулярный)

ориентированный

планарный

плоский

полный

связный

эйлеров

Дерево

Дуга графа

Компонента связности

Лес

Маршрут

Матрица

инцидентности

смежности

Мост

Мультиграф

Отношение

достижимости

связности

Подграф

собственный

Полустепень

исхода

захода

Псевдограф

эйлеров

Путь

Ребро графа

Список

рёбер

смежности

Степень вершины

Точка сочленения

Хроматическое число

Цепь

эйлерова

гамильтонова

Цикл

эйлеров

гамильтонов

Часть графа

Функциональные системы с операциями: алгебра логики

Дизъюнкция

Замыкание

Импликация

Конъюнкция

Класс функций

линейных

монотонных

самодвойственных функций

сохраняющих константу 0

сохраняющих константу 1

Метод минимизирующих карт

Нормальная форма

совершенная конъюнктивная

совершенная дизъюнктивная

Отрицание

Полином Жегалкина

Полная система

Сложение по модулю 2

Стрелка Пирса

Таблица значений

Функция

булева

Штрих Шеффера

Эквивалентность

Раздел 5. Практикум по решению задач (практических ситуаций) по темам лекций (одна из составляющих частей итоговой государственной аттестации) Элементы теории множеств

Задание 1.1. Составить все подмножества для A = {3, 6, 9}.

Решение. Их восемь: , {3}, {6}, {9}, {3, 6}, {3, 9}, {6, 9}, {3, 6, 9}.

Задание 1.2. Найти объединение, пересечение и обе разности множеств A = {12, 15, 18} и B = {12, 14, 16, 18}.

Решение. AB = {12, 14, 15, 16, 18}, AB = {12, 18}, A \ B ={15}, В \ А ={14, 16}.

Задание 1.3. Равны ли множества А и В, если А = {}, В =  ?

Решение. Множество А содержит один элемент (этот элемент − пустое множество), а в множестве В элементы отсутствуют; поэтому А  В.

Задание 1.4. Существуют ли множества А, В, С такие, что для них выполняется набор условий (если “да”, то привести пример таких множеств): АВ = В, АС = , С  В ?

Решение. Существуют. Например, А = {1, 5} В = {1, 2, 4, 5, 9} С = {4, 9}.

Задание 1.5. Проверить справедливость равенства для множеств А = {1, 2}, B = {2, 3}, C = {1, 3}: B  (A  C) = (B  A) \ (B  (A \ C)) .

Решение.

A  C = {1};

поэтому слева: B  (A  C) = {(2, 1), (3,1)};

B  A = {(2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2)}; A \ C = {2}; B  (A \ C) = {(2, 2), (3, 2)};

поэтому справа: (B  A) \ (B  (A \ C)) = {(2, 1), (3, 1)}.

Задание 1.6. Пусть M − множество точек действительной плоскости. Какими свойствами обладают следующие бинарные отношения, заданные на множестве M:

а) Отношение “находиться на одинаковом расстоянии от начала координат”.

б). Отношение “расстояние между точками равно 5”.

Решение.

а) Отношение

• рефлексивное, т.к. для любой точки плоскости выполняется: aRa,

• симметричное, т.к. для любых двух точек плоскости из аRb следует bRa,

• транзитивное, т.к. из для любых трёх точек плоскости из аRb и bRc следует аRc.

б). Отношение симметричное. Рефлексивным оно не является, т.к., расстояние от точки до неё самой равно 0, а не 5. Транзитивным оно тоже не является: например, точка (4,2) находится на расстоянии 5 от точки (−1, 2), точка (−1, 2) находится на расстоянии 5 от точки (−6, 2), тогда как расстояние между точками (4,2) и (−6, 2) не равно 5.