- •Учебно-методический комплекс дисциплины сд.12 дискретная математика
- •061800 «Математические методы в экономике»
- •Раздел 1. Программа учебной дисциплины. Структура программы учебной дисциплины
- •1.3 Пояснительная записка:
- •1.5. Объем дисциплины и виды учебной работы.
- •1.6 Содержание дисциплины.
- •1.7 Методические рекомендации по организации изучения дисциплины.
- •1.8 Учебно-методическое обеспечение дисциплины.
- •1.9 Материально-техническое обеспечение дисциплины.
- •1.10 Примерные зачетные тестовые задания.
- •1.11 Примерный перечень вопросов к зачету (экзамену).
- •1.12 Комплект экзаменационных билетов
- •1.13 Примерная тематика рефератов.
- •1.14 Примерная тематика курсовых работ.
- •Элементы теории множеств
- •§ 2. Бинарные операции и их свойства
- •§ 3. Операции над множествами. Законы де Моргана
- •§ 4. Вектор. Прямое произведение
- •§ 5. Мощность конечного множества
- •§ 6. Отношения и их свойства
- •§ 7. Отношение эквивалентности
- •§ 8. Отношение порядка
- •§ 9. Отображения и их свойства
- •Глава II. Элементы теории графов
- •§ 1. Графы, их вершины, рёбра и дуги
- •§ 2. Операции над графами
- •§ 3. Способы задания псевдографов. Степени вершин
- •§ 4. Отношение связности для вершин неориентированного графа
- •§ 5. Отношение достижимости для вершин орграфа
- •§ 6. Эйлеров граф и условия его существования
- •§ 7. Гамильтонов граф и условия его существования
- •§ 8. Деревья и их свойства. Цикломатическое число
- •§ 9. Формула Кэли
- •§ 10. Двудольный граф
- •§ 11. Планарность
- •§ 12. Раскраска графов
- •Глава III. Булевы функции
- •§ 1. Основные определения
- •§ 2. Свойства булевых функций
- •§ 3. Переключательные функции
- •§ 4. Совершенные нормальные формы
- •§ 5. Полнота. Примеры полных систем
- •§ 6. Замыкание и его свойства
- •§ 7. Важнейшие замкнутые классы
- •§ 8. Теорема о функциональной полноте
- •Раздел 4. Словарь терминов (глоссарий) Элементы теории множеств
- •Конечные графы
- •Функциональные системы с операциями: алгебра логики
- •Раздел 5. Практикум по решению задач (практических ситуаций) по темам лекций (одна из составляющих частей итоговой государственной аттестации) Элементы теории множеств
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Конечные графы
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Функциональные системы с операциями: алгебра логики
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Раздел 6. Изменения в рабочей программе, которые произошли после утверждения программы.
- •Раздел 7. Учебные занятия по дисциплине ведут:
Задачи для самостоятельного решения
Задание 2.8. Сколько существует неориентированных графов с 5 помеченными вершинами (т.е. среди этих графов могут быть и изоморфные) и
а) 3 ребрами; б) не более чем с 3 ребрами;
в) с произвольным количеством ребер; г) 8 ребрами;
д) не менее чем с 8 ребрами; е) хотя бы с одним ребром?
Задание 2.9. По коду Прюфера восстановите дерево. Сделайте проверку.
а) (3, 3, 7, 1, 1, 1); в) (7, 11, 11, 6, 6, 6, 2, 2, 10, 1);
б) (1, 2, 2, 4, 9, 5, 5, 5); г) (2, 3, 1, 4, 4, 4, 1, 2, 6, 6).
Функциональные системы с операциями: алгебра логики
Задание 3.1. Подсчитайте количество различных булевых функций n переменных, если
а) n = 1; б) n = 2; в) n = 3; г) n = 4.
Решение. Количество различных булевых функций n переменных вычисляется по формуле
K(n) = ;
поэтому
а) K(1) = 22 = 4; б) K(2) = 24 =16; в) K(3) = 28 =256; г) K(4) = 216 = 65536.
Задание 3.2. Проверить, выполняются ли законы ассоциативности для штриха Шеффера.
Решение. Составив таблицу, сравним значения функций f1(x, y, z) = (x | y) | z и
f2(x, y, z) = x | (y | z).
Таблица 1.
x |
y |
Z |
x | y |
f1 = (x | y) | z |
y | z |
f2 = x | (y | z ) |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
Так как f1(x, y, z) ≠ f2(x, y, z), то для штриха Шеффера законы ассоциативности не выполняются.
Задание 3.3. Составить СДНФ и СКНФ для функции x ~ y.
Решение. Мы имеем два набора: (0, 0) и (1, 1), на которых эта функция равна 1; поэтому СДНФ имеет вид: x ~ y = x0&y0 x1&y1 = x y.
Эта функция равна 0 на наборах (0,1) и (1,0); поэтому СКНФ имеет вид: x ~ y = = (х ) ( y).
Задание 3.4. Выразить функцию x1 x2 в виде полинома Жегалкина.
Решение. Запишем полином Жегалкина для функции двух переменных в общем виде: f(x1,x2) = a12x1x2 a1x1 a2x2 a0. Определим теперь неизвестные постоянные a12, a1, a2, a0. Для этого положим x1=x2=0 и подставим эти значения в полином. Получим 0=a0, т.е. a0=0.
При x1=0, x2=1 имеем 1 = a2 a0, т.е. a2=1,
при x1=1, x2=0 имеем 1 = a1 a0, т.е. a1=1, наконец,
при x1=x2=1 имеем 1 = a12a1a2a0, т.е. a12=1.
Окончательно имеем: x1x2 = x1x2 x1 x2.
Ответ: x1x2 = x1x2 x1 x2.
Задание 3.5. К каким из основных замкнутых классов T0, T1, S, M, L принадлежит и к каким не принадлежит функция φ(x) = ? Ответ обосновать.
Решение.
1. Так как φ(0) = 1, то φ(x) T0.
2. Так как φ(1) = 0, то φ(x) T1.
3. Так как на противоположных наборах φ(x) принимает противоположные значения, то φ(x) S.
4. Так как φ(0) > φ(1), то φ(x) M.
5. Так как полином Жегалкина x1 этой функции не содержит конъюнкций, то эта функция линейная , т.е. φ(x) L.
Задание 3.6. Используя теорему о функциональной полноте проверить, является ли полной система функций
f1 = x1&x2, f2 = 0, f3 = 1 и f4 = x1x2 x3 ?
Решение. Так как f3 T0, f2 T1, f2 S, f4 M, f1 L, то система этих функций целиком не содержится ни в одном из пяти указанных классов, а значит, является полной.