1.12 Комплект экзаменационных билетов

Билет. № 1.

1. Теорема Кэли о числе различных деревьев с “n” вершинами.

2. Замкнутый класс Т₀ функций, сохраняющих константу 0: определение; примеры функций, принадлежащих этому классу и не принадлежащих ему; доказательство замкнутости; количество функций в Т₀.

Билет. № 2.

1. Деревья и их свойства (теоремы о связи между вершинами дерева, о числе концевых вершин и ребер, о соотношении числа вершин и числа ребер).

2. Замкнутый класс S самодвойственных функций: определение; примеры функций, принадлежащих этому классу и не принадлежащих ему; доказательство замкнутости; количество функций в S.

Билет. № 3.

1. Двудольный граф. Условия, при которых граф двудольный.

2. Замкнутый класс M монотонных функций: определение; примеры функций, принадлежащих классу M и не принадлежащих ему; доказательство замкнутости.

Билет. № 4.

1. Плоский граф. Планарный граф. Теорема Эйлера о связи между количеством вершин, ребер и граней плоского графа.

2. Замкнутый класс Т₁ функций, сохраняющих константу 1: определение; примеры функций, принадлежащих Т₁ и не принадлежащих Т₁; доказательство замкнутости; количество функций в Т₁.

Билет. № 5.

1. Матрица инцидентности псевдографа. Список рёбер. Матрица смежности. Определение степени вершины с помощью матриц смежности и инцидентности.

2. Полнота. Семь примеров полных систем с доказательствами их полноты (без использования теоремы о функциональной полноте).

Билет. № 6.

1. Операции над графами: соединение, композиция. Число вершин и ребер графа  результата операции.

2. Замкнутый класс L линейных функций: определение; примеры функций, принадлежащих этому классу и не принадлежащих ему; доказательство замкнутости; количество функций в L.

Билет. № 7.

1. Гамильтонов граф и простейшие условия его существования.

2. Двойственная функция: определение, построение с помощью таблицы значений. Принцип двойственности. Не используя таблицы значений, составить функцию, двойственную к f(x, y, z) = (x) ~ (yz).

Билет. № 8.

1. Следствия из теоремы Эйлера (относительно количества ребер планарного графа; относительно графов K₅ и K_3,3; относительно степени вершины планарного графа).

2. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма и ее построение. Способы приведения функции к совершенной ДНФ.

Билет. № 9.

1. Раскраска графа. Хроматическое число графа. Теорема о пяти красках.

2. Совершенная конъюнктивная нормальная форма и ее построение. Способы приведения функции к совершенной КНФ.

Билет. № 10.

1. Основные определения (графы, мультиграфы, псевдографы; вершины, ребра, дуги; смежность, инцидентность; графы ориентированные, неориентированные, изоморфные; пустой граф; полный граф).

2. Лемма о нелинейной функции (с доказательством). Применить лемму к функции

f(x, y, z) =  (x ~ y).

Билет. № 11.

1. Отношение достижимости в ориентированном графе и его свойства. Базисный граф и способ его построения.

2. Теорема о представлении булевой функции при помощи полинома Жегалкина (с доказательством).

Билет. № 12.

1. Теорема Кэли о числе различных деревьев с “n” вершинами.

2. Булевы функции: определение, функции одной переменной, функции двух переменных, количество функций n переменных.

Билет. № 13.

1. Маршрут, путь, цикл, цепь. Теорема о существовании простой ориентированной цепи, проходящей через все вершины графа.

2. Свойства булевых функций (с доказательством одного из свойств).

Билет. № 14.

1. Часть графа. Подграф. Собственный подграф. Дополнение графа.

2. Теорема о функциональной полноте (с доказательством).

Билет. № 15.

1. Степени вершин графа. Лемма о рукопожатиях. Однородный (регулярный) граф. Теорема о существовании вершин с одинаковыми степенями.

2. Лемма о немонотонной функции (с доказательством). Применить лемму к функции

f(x, y, z) = z (x  y).

Билет. № 16.

1. Отношение связности в неориентированном графе и его свойства. Связный граф. Компоненты связности. Точка сочленения. Мост.

2. Теорема о разложении булевой функции по n переменным. Разложить f(х₁,..., х₅) по переменным: х₂, х₄, х₅.

Билет. № 17.

1. Эйлеров граф. Условия, при которых граф эйлеров. Эйлерова цепь. Условия существования эйлеровой цепи.

2. Замыкание: определение, свойства. Определение полноты через понятие замыкания. Замыкание к множеству {1, х₁  х₂}.

Билет. № 18.

1. Операции над графами: объединение, произведение. Число вершин и ребер графа  результата операции.

2. Лемма о несамодвойственной функции (с доказательством). Применить лемму к функции f(x,y,z)= y→ .