§ 7. Отношение эквивалентности

Отношение называется отношением эквивалентности (или просто эквивалентностью), если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Если элементы a и b связаны отношением эквивалентности, то применяется запись: a~b.

Примеры.

1. Отношение равенства Е на любом множестве является отношением эквивалентности. Равенство - это минимальное отношение эквивалентности в том смысле, что при удалении любой пары из множества Е (т.е. любой единицы на диагонали матрицы Е) оно перестаёт быть рефлексивным и, следовательно, уже не является эквивалентностью.

2. Отношение “иметь один и тот же остаток от деления на 4” является эквивалентностью на N{0}. Это отношение выполняется, например, для пар (19,43), (12,20) и не выполняется для пар (18,43), (12,21).

3. Отношение “быть параллельными”, заданное на множестве всех прямых на плоскости, также представляет собой эквивалентность.

Пусть на множестве М задано отношение эквивалентности R. Выполним следующее построение. Выберем элемент a₁М и образуем класс (подмножество М) C₁, состоящий из a₁ и всех элементов, эквивалентных a₁; затем выберем из М элемент a₂C₁ и образуем класс C₂, состоящий из a₂ и всех элементов, эквивалентных a₂, и т.д. Получится система (возможно, бесконечная) классов C₁, C₂,..., в которой каждый элемент из М входит хотя бы в один класс, т.е. =M.

Эта система классов имеет следующие свойства:

1) она образует разбиение (классы попарно не пересекаются);

2) любые два элемента из одного класса эквивалентны;

3) любые два элемента из разных классов не эквивалентны.

Свойства 2, 3 непосредственно следуют из способа построения классов эквивалентности, поэтому ограничимся доказательством свойства 1.

 Предположим, что два класса, например C₁ и C₂, пересекаются. Это значит, что они имеют хотя бы один общий элемент b, причём, по построению, b~ a₁ и b~ a₂. Тогда, в силу транзитивности отношения эквивалентности, a₁~a₂. Полученный результат противоречит построению C₂. Остаётся утверждать, что C₁ и C₂ не пересекаются. 

Построенное разбиение называется системой классов эквивалентности по отношению к R. Мощность этой системы называется индексом разбиения.

Примеры.

1. Все классы эквивалентности для отношения равенства Е состоят из одного элемента (“а” равно только себе самому).

2. Разбиение на N{0} для отношения “иметь один и тот же остаток от деления на 4” имеет конечный индекс 4 и состоит из четырёх классов:

C₁={0,4,8,12,...}={c / c=4k-4, kN}, C₂={1,5,9,13,...}= {c / c=4k-3, kN},

C₃={2,6,10,14,...}= {c / c=4k-2, kN}, C₄={3,7,11,15, ...}= {c / c=4k-1, kN}.

§ 8. Отношение порядка

Отношение называется отношением нестрогого порядка, если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

Отношение называется отношением строгого порядка, если оно антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

Оба типа отношений называются отношениями порядка.

Элементы a и b сравнимы по отношению порядка R, если выполняется одно из условий aRb или b R^-1а.

Множество М, на котором задано отношение порядка, называется полностью упорядоченным, если любые два элемента М сравнимы, и частично упорядоченным в противном случае.

Примеры.

1. Отношения ““ и ““ для чисел являются отношениями нестрогого порядка, а отношения ““ и ““ - отношениями строгого порядка. Оба отношения полностью упорядочивают множества N и R.

2. Определим отношения ““ и ““ для векторов на Rⁿ следуюшим образом:

(a₁,a₂,...,a_n)(b₁,b₂,...,b_n), если a₁ b₁, a₂ b₂, a_n b_n;

(a₁,a₂,...,a_n)<(b₁,b₂,...,b_n), если (a₁,a₂,...,a_n)(b₁,b₂,...,b_n) и хотя бы в одной координате i выполнено условие a_i<b_i.

Эти отношения определяют частичный порядок на Rⁿ.

Например, при n=3 (7,4,-3)<(7,6,-3), а (7,4,-3) и (7,0,0) не сравнимы.

3. На системе подмножеств множества М отношение включения ““ задаёт нестрогий частичный порядок, а отношение ““ задаёт строгий частичный порядок. Например, {1,2}{1,2,3}, а {1,2} и {1,3,4} не сравнимы.

4. Отношение подчинённости на предприятии задаёт строгий частичный порядок. Несравнимыми в нём являются сотрудники разных отделов.

5. Пусть в списке букв конечного алфавита А порядок букв зафиксирован, как, например, в русском или латинском алфавите. Тогда этот список определяет полное упорядочение букв, которое называют отношением предшествования и обозначают “” (a_ia_j, если a_i предшествует a_j в списке букв. На основе отношения предшествования букв строится отношение предшествования слов, определяемое следующим образом. Пусть даны слова

₁=a₁₁ a₁₂ ... a_1n и ₂=a₂₁ a₂₂ ... a_2m. Тогда ₁₂, когда

- либо ₁=a_i, ₂=a_j и a_ia_j (, ,  - некоторые слова, возможно, пустые; a_i и a_j - буквы),

- либо ₂=₁, где  - непустое слово.

Это отношение задаёт полное упорядочение множества всех конечных слов в алфавите А, которое называется лексико-графическим упорядочением слов.

а) Наиболее известным примером лексико-графического упорядочения является упорядочение слов в словарях. Например,

математика материал (здесь =мате, мр, =атика, =иал);

ком команда (здесь =анда).

б) Если рассматривать числа в позиционных системах счисления (например, в двоичной или десятичной) как слова в алфавите цифр, то их лексико-графическое упорядочение совпадает с обычным, если сравниваемые числа имеют одинаковое число разрядов.

В общем случае эти два вида упорядочения могут не совпадать: например, 70<705 и 80<705, но 70 705, а 80705. Чтобы они совпали, нужно выровнять число разрядов у сравниваемых чисел, приписывая слева нули, например 080705. Такое выравнивание автоматически происходит при записи целых чисел в ЭВМ.

в) Лексико-графическое упорядочение цифровых представлений дат вида 31.01.98 не совпадает с естественным упорядочением дат от ранних к поздним: например, 31.01.98 лексико-графически “старше” 27 числа любого года. Чтобы возрастание дат совпало с лексико-графическим упорядочением, на первое место в дате надо поставить год, затем месяц и, наконец, число: 98.01.31. Так обычно хранят даты в памяти ЭВМ.