7.6. Мощность трехфазной цепи

Рассмотрим комплексную мощность трехфазной цепи на примере несимметричной схемы рис. 7.17:

, (7.58)

где

(7.59)

– активная мощность трехфазной цепи;

(7.60)

– реактивная мощность трехфазной цепи.

Выражения (7.59) и (7.60) можно представить в виде

, (7.61)

, (7.62)

т.е. активная (реактивная) мощность трехфазной цепи равна сумме активных (реактивных) мощностей фаз нагрузки, утроенной активной (реактивной) мощности линейных проводов и активной (реактивной) мощности нейтрального провода.

Полная мощность трехфазной цепи

.

В частном случае работы трехфазной цепи в симметричном режиме , . Если, кроме того, сопротивления линейных проводов равны нулю, то

, (7.63)

, (7.64)

где , – действующие значения фазных напряжений и токов нагрузки;

– угол сдвига фаз между напряжением и током на фазе нагрузки.

Нетрудно убедиться, что независимо от способа соединения нагрузки в звезду или треугольник,

, (7.65)

, (7.66)

где , – действующие значения линейных напряжений и токов.

Тогда окончательно для симметричной трехфазной цепи (при ) справедливо следующее:

, (7.67)

, (7.68)

. (7.69)

7.7. Способы получения кругового вращающегося магнитного поля

Пусть по катушке, условно нарисованной в виде витка (рис. 7.18), течет синусоидальный ток

. (7.70)

Рис. 7.18

Этот ток возбуждает магнитное поле, индукция которого в центре катушки также изменяется по синусоидальному закону

. (7.71)

Направление вектора индукции (в центре катушки) нормально к плоскости витка (рис. 7.18) и связано с направлением тока правилом буравчика.

Для указанного на рис. 7.18 положительного направления тока вектор индукции направлен по действительной оси и располагается в правой полуплоскости. Когда ток изменит свое направление, то и вектор индукции изменит направление на противоположное и будет располагаться в левой полуплоскости.

Таким образом, вектор индукции непрерывно меняется по величине и направлению, и магнитное поле одиночной катушки является пульсирующим.

Согласно формуле Эйлера, выражение (7.71) можно записать в виде

. (7.72)

Как было показано в гл. 3, умножение любого неподвижного вектора на оператор вращения дает вращающийся вектор. Поэтому из формулы (7.72) следует, что пульсирующее магнитное поле можно рассматривать как результат наложения двух круговых полей ( и ), вращающихся в противоположные стороны с угловой скоростью .

На рис. 7.19 представлен результат сложения двух круговых полей для моментов времени и .

Рис. 7.19

Многофазная система синусоидальных токов, возбужденных в неподвижных обмотках различных электротехнических устройств, позволяет получить круговое вращающееся магнитное поле. Для этого обмотки необходимо расположить в пространстве так, чтобы их магнитные оси составляли углы, равные углам сдвига фаз токов этих обмоток.

Рассмотрим две одинаковые катушки, расположенные в пространстве так, что их магнитные оси перпендикулярны (рис. 7.20).

Пусть ток первой катушки

, (7.73)

а ток второй катушки

. (7.74)

Рис. 7.20

Каждая из катушек создает свое пульсирующее магнитное поле:

, (7.75)

. (7.76)

Результирующее магнитное поле обеих катушек

. (7.77)

Перепишем (7.77) в виде

. (7.78)

После простых преобразований получим

. (7.79)

В итоге получили круговое магнитное поле, вектор индукции которого вращается в отрицательном направлении (по часовой стрелке). Если изменить направление тока в одной из катушек (что равносильно изменению его фазы на ), то магнитное поле сменит направление вращения.

Если две катушки имеют неодинаковое число витков, то для получения кругового вращающегося магнитного поля необходимо выполнить следующие условия:

а) магнитные оси катушек должны быть сдвинуты в пространстве на угол (геометрических);

б) токи в катушках должны быть сдвинуты относительно друг друга на (электрических);

в) намагничивающие силы катушек

, (7.80)

где , – числа витков катушек.

При несоблюдении любого из этих условий вместо кругового поля получается эллиптическое. При этом вектор индукции вращается с переменной угловой скоростью , а его конец при вращении описывает эллипс (рис. 7.21).

Рис. 7.21

Эллиптическое поле можно представить как результат наложения двух круговых полей разной амплитуды ( и , рис. 7.21), вращающихся с одинаковой постоянной скоростью в противоположных направлениях.

Способ получения кругового магнитного поля с помощью двух катушек используется в двухфазных асинхронных и синхронных двигателях.

Рассмотрим три одинаковые катушки, расположенные в пространстве так, что их магнитные оси сдвинуты на угол (рис. 7.22).

Рис. 7.22

Пусть токи в катушках образуют трехфазную симметричную систему:

, (7.81)

, (7.82)

. (7.83)

Каждая из катушек создает свое пульсирующее магнитное поле:

, (7.84)

, (7.85)

. (7.86)

Результирующее магнитное поле трех катушек

. (7.87)

Перепишем отдельные составляющие (7.87) в виде

, (7.88)

, (7.89)

. (7.90)

Тогда после несложных преобразований формула (7.87) приобретает вид:

. (7.91)

В итоге получили круговое магнитное поле, вектор индукции которого вращается в отрицательном направлении (по часовой стрелке). Для изменения направления вращения поля достаточно поменять местами токи в двух любых катушках, например в катушках В и С:

, (7.92)

. (7.93)

Способ получения кругового магнитного поля с помощью трех катушек используется в трехфазных асинхронных и синхронных двигателях.

В случае несимметрии токов в катушках вместо кругового поля получается эллиптическое.