7. Трехфазные цепи

В большинстве случаев в сетях электроснабжения используется переменный трёхфазный ток, так как с его помощью можно передавать электрическую энергию более экономично, чем при помощи однофазного.

Кроме того, с помощью трёхфазного тока можно получить круговое вращающееся электрическое поле, которое лежит в основе принципа действия трёхфазных электрических машин.

7.1. Трехфазная симметричная система эдс. Трехфазная цепь

Это совокупность трёх одинаковых по амплитуде и частоте синусоидальных ЭДС, сдвинутых по фазе на относительно друг друга (рис. 7.1).

Рис. 7.1

В любой момент времени сумма ЭДС равна нулю:

, (7.1)

где

; (7.2)

; (7.3)

. (7.4)

В комплексной форме записи:

, (7.5)

, (7.6)

. (7.7)

Пусть в общем случае ЭДС имеет ненулевую начальную фазу , тогда

, (7.8)

, (7.9)

. (7.10)

Обозначим

, (7.11)

где а – оператор трехфазной системы.

С учетом принятого обозначения получим:

, (7.12)

, (7.13)

. (7.14)

Поскольку сумма трехфазных симметричных ЭДС равна нулю:

,

то отсюда следует:

. (7.15)

Синусоидальную ЭДС можно получить, вращая проволочную рамку (один виток) с постоянной угловой скоростью в однородном магнитном поле , ось вращения которой перпендикулярна силовым линиям (рис. 7.2).

Пронизывающий рамку магнитный поток изменяется по закону косинуса

, (7.16)

а ЭДС, наводимая в рамке, изменяется синусоидально:

, (7.17)

где – число витков рамки.

Рис. 7.2

Если в магнитном поле вращать три рамки, сдвинутые на относительно друг друга (рис. 7.3), то и ЭДС, наводимые в них, также будут смещены на (рис. 7.1).

Рис. 7.3

В синхронном генераторе (рис. 7.4), в отличие от конструкции рис. 7.3, вращается магнитное поле, созданное постоянным магнитом (электромагнитом), расположенным на роторе.

Рис. 7.4

В пазах неподвижной части генератора (статора) расположены три одинаковые обмотки, магнитные оси которых сдвинуты на угол .

Обмотки статора соединяют в звезду или треугольник. При соединении обмоток звездой (рис. 7.5) концы обмоток x, y, z объединяют в одну точку, которую называют нулевой (нейтральной) точкой генератора О.

Рис. 7.5

При соединении обмоток генератора треугольником (рис. 7.6) ток в обмотках в режиме холостого хода теоретически равен нулю, т.к. сумма трехфазных симметричных ЭДС равна нулю.

Рис. 7.6

Однако на практике добиться строгой симметрии ЭДС сложно, их сумма отличается от нуля. В результате в режиме холостого хода по обмоткам генератора течет ток, который вызывает их нагрев и сокращает срок службы изоляции. Поэтому в большинстве случаев применяют соединение обмоток генератора в звезду.

Совокупность трехфазной симметричной системы ЭДС, трехфазной нагрузки и соединительных проводов называется трехфазной цепью. Отметим, что понятие трехфазной симметричной системы можно распространить не только на ЭДС, но и на напряжения и токи трехфазной цепи.

7.2. Симметричный режим работы трехфазной цепи при соединении генератора с нагрузкой по схеме

”звезда – звезда с нулевым проводом”

Точка, в которой объединены концы трехфазной нагрузки (рис. 7.7), называется нулевой точкой нагрузки .

Рис. 7.7

Под фазой трехфазной цепи понимают участок трехфазной цепи, по которому течет одинаковый ток. При этом разделяют понятия “фаза генератора” и “фаза нагрузки”. Для обозначения величин, относящихся к генератору, будем использовать прописные буквы А, В, С, а для величин, относящихся к нагрузке, – строчные буквы а, b, c.

Так, в цепи рис. 7.7 фаза А генератора – это участок от нуля генератора О до зажима А; фаза В генератора – участок от нуля генератора О до зажима В; фаза С генератора – участок от нуля генератора О до зажима С. Соответственно фаза а нагрузки – это участок от нуля нагрузки до зажима а; фаза b нагрузки – участок от нуля нагрузки до зажима b; фаза c нагрузки – участок от нуля нагрузки до зажима c.

Провод, соединяющий нулевые точки генератора и нагрузки, называется нулевым (нейтральным) проводом. Провода, соединяющие генератор с нагрузкой, называются линейными проводами.

Симметричный режим работы (симметричная трехфазная цепь) будет в том случае, если при симметричном генераторе комплексные сопротивления нагрузки всех фаз равны:

. (7.18)

Напряжения отдельных фаз генератора или нагрузки называют фазными напряжениями. Так, в цепи рис. 7.7:

, , – фазные напряжения генератора;

, , – фазные напряжения нагрузки.

Поскольку в цепи рис. 7.7 сопротивления нулевого и линейных проводов равны нулю, то фазные напряжения генератора и нагрузки равны:

, (7.19)

, (7.20)

. (7.21)

При этом справедливо следующее:

, (7.22)

, (7.23)

т.е. фазные напряжения нагрузки образуют симметричную систему

.

Напряжения между линейными проводами (рис. 7.7) , , называются линейными напряжениями. На основании второго закона Кирхгофа линейные напряжения равны разности соответствующих фазных напряжений генератора:

, (7.24)

, (7.25)

. (7.26)

Как следует из векторной диаграммы рис. 7.8, линейные напряжения , , также образуют симметричную систему (поскольку треугольник ABC является равносторонним):

, (7.27)

, (7.28)

.

Рис. 7.8

При этом линейные напряжения в раз больше (по модулю) фазных напряжений генератора и опережают соответствующие фазные напряжения на угол (см. рис. 7.8):

, (7.29)

, (7.30)

. (7.31)

Токи, текущие по линейным проводам, называются линейными токами , , . При соединении нагрузки в звезду линейные токи равны фазным (генератора и нагрузки).

В рассматриваемой симметричной трехфазной цепи фазные (линейные) токи также образуют симметричную систему. Действительно, на основании закона Ома и с учетом формулы (7.18) получим:

, (7.32)

, (7.33)

, (7.34)

откуда

.

Поскольку ток в нулевом проводе равен сумме линейных токов:

,

то сам нулевой провод может быть убран из цепи без изменения ее работы (рис. 7.9).

Рис. 7.9