4.7. Метод эквивалентного генератора

Используется для определения тока в какой-либо одной ветви сложной разветвленной электрической цепи.

Выделим из электрической схемы (рис. 4.18а) ветвь ab с искомым током , а остальную часть мысленно заключим в прямоугольник (активный двухполюсник А с источниками электрической энергии).

а) б) в)

Рис. 4.18

Пусть в активном двухполюснике А содержится n источников электрической энергии. Ток в ветви ab не изменится, если в нее дополнительно включить две равные по величине и направленные противоположно ЭДС: (рис. 4.18б). Тогда на основании принципа наложения искомый ток можно представить как

, (4.26)

где – составляющая тока, обусловленная всеми источниками активного двухполюсника А и добавленной ЭДС ;

– составляющая тока, обусловленная только источником .

Формуле (4.26) соответствует рис. 4.18в, на котором А – исходный активный двухполюсник, П – пассивный двухполюсник, в котором отсутствуют источники энергии.

По закону Ома для участка цепи с ЭДС (рис. 4.18в)

. (4.27)

Выберем величину такую, чтобы . Отсутствие тока в ветви эквивалентно ее размыканию (режиму холостого хода, рис. 4.19), тогда

, (4.28)

. (4.29)

Рис. 4.19

Поскольку в пассивном двухполюснике отсутствуют источники энергии (рис.4.18в), то искомый ток с учетом (4.28) и (4.29) можно определить как

, (4.30)

где – входное сопротивление пассивного двухполюсника со стороны зажимов ab.

Уравнению (4.30) соответствует схема рис. 4.20.

Рис. 4.20

Совокупность ЭДС и сопротивления можно рассматривать как некоторый эквивалентный генератор (является его внутренним сопротивлением, а – его ЭДС).

Таким образом, для определения тока методом эквивалентного генератора необходимо:

1) разорвать ветвь с искомым током и найти напряжение между точками разрыва a,b (рис. 4.19);

2) определить входное сопротивление цепи со стороны точек разрыва a,b при исключенных из цепи источниках электрической энергии;

3) рассчитать ток по формуле (4.30).

Рассмотрим в качестве примера расчет тока в цепи рис. 4.21 методом эквивалентного генератора.

Рис. 4.21

Разорвем ветвь с искомым током (рис. 4.22) и для определения величины запишем второй закон Кирхгофа (направление обхода выбранного контура указано стрелкой):

,

откуда

.

Рис. 4.22

Найдем входное сопротивление пассивной цепи (при удаленных источниках электрической энергии, рис. 4.23) со стороны точек разрыва a,b:

.

Рис. 4.23

Окончательно искомый ток

.

5. Цепи со взаимной индуктивностью

5.1. Явление взаимоиндукции. Взаимная индуктивность

Рассмотрим два контура с токами , (рис. 5.1).

Рис. 5.1

Обозначим – число витков первого контура, – число витков второго контура.

Ток , протекающий по первому контуру, создает поток самоиндукции . Последний можно разделить на два: поток рассеяния , сцепляющийся только с витками первого контура, и поток взаимоиндукции, сцепляющийся также с витками второго контура:

. (5.1)

Аналогичное выражение можно записать для потока самоиндукции второго контура:

. (5.2)

На рис. 5.1 магнитные потоки направлены одинаково (говорят: “согласно”), поэтому полное потокосцепление первого контура

, (5.3)

где – потокосцепление самоиндукции, обусловленной током в первом контуре;

– потокосцепление взаимоиндукции, обусловленное током во втором контуре.

Аналогично можно записать полное потокосцепление второго контура:

. (5.4)

Рис. 5.2

Если поменять направление тока в одном из контуров (рис. 5.2), то потоки и будут иметь встречное направление и

, (5.5)

. (5.6)

В общем случае

, (5.7)

, (5.8)

где знак “ + ” ставится при согласном направлении потоков, а “ – ” – при встречном.

Если сердечники контуров выполнены из материала с постоянной абсолютной магнитной проницаемостью (), то потокосцепление самоиндукции первого контура пропорционально току :

, (5.9)

а потокосцепление взаимоиндукции первого контура пропорционально току во втором:

, (5.10)

где – индуктивность первого контура,

- взаимная индуктивность.

Аналогично для второго контура:

, (5.11)

. (5.12)

Взаимная индуктивность определяется конфигурацией контуров, их взаимным расположением и магнитной проницаемостью среды.

Степень индуктивной связи двух контуров (катушек) характеризуется коэффициентом связи

. (5.13)

После простых математических преобразований можно получить

. (5.14)

Поскольку у реальных катушек всегда существуют потоки рассеяния, то , , и, следовательно, коэффициент связи k <1.

Полная ЭДС, индуктируемая в первом контуре:

(5.15)

Явление наведения ЭДС в каком-либо контуре при изменении тока в другом контуре называется взаимоиндукцией. Наведенную (индуктированную) ЭДС называют ЭДС взаимоиндукции и обозначают

. (5.16)

Здесь знак “ – ” ставят при согласном направлении магнитных потоков, знак “ + ” – при встречном.

Аналогично для второго контура:

. (5.17)

Величина

(5.18)

называется напряжением взаимоиндукции (или говорят: “напряжение, уравновешивающее ЭДС взаимоиндукции”).

В комплексной форме записи ЭДС и напряжение взаимоиндукции имеют вид:

, (5.19)

. (5.20)