4.3. Метод контурных токов

Расчёт разветвлённой цепи может быть сведён к решению всего [n – (k - 1)] уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа. Для этого цепь рассматривается как совокупность независимых соприкасающихся контуров и производится условная замена неизвестных токов в ветвях на токи, протекающие по замкнутым контурам. В уравнения, составленные по второму закону Кирхгофа, вводятся токи в независимых контурах – так называемые контурные токи.

Действительные токи в ветвях, принадлежащих только одному контуру, равны соответствующим контурным токам (но могут отличаться от них по направлению). Токи в общих для двух или нескольких контуров ветвях определяются как алгебраическая сумма соответствующих контурных токов. Первый закон Кирхгофа при этом будет выполняться автоматически.

Направление контурных токов выбирается произвольно, а обход контуров условимся проводить в направлении контурных токов.

Для цепи с источниками ЭДС система уравнений, составленных для независимых контуров по второму закону Кирхгофа, содержит уравнения типа

, (4.15)

где

– контурные токи;

– сумма сопротивлений ветвей, образующих независимый m-й контур (контурное сопротивление);

– сумма ЭДС m-го контура;

– сопротивление ветви, общей (смежной) для m-го и q-го контура (сопротивление связи).

Если в общих (смежных) ветвях направления контурных токов совпадают, то сопротивление связи берётся положительным, если токи направлены встречно, то – отрицательным. Контурные сопротивления всегда принимаются положительными.

При записи правой части уравнений (4.15) ЭДС, направления которых совпадают с принятым направлением контурного тока (обхода), принимаются положительными, а направленных противоположно – отрицательными.

Рассмотрим в качестве примера цепь рис. 4.12.

Рис. 4.12

Произвольно выбираем независимые контуры с контурными токами , , , направления которых указываем стрелками. Система уравнений по методу контурных токов для рассматриваемой цепи имеет вид

где ; ;

; ;

; ;

; ;

.

После решения системы уравнений относительно контурных токов находим токи в ветвях:

; ; ; ;

; .

Если цепь содержит источник тока (рис. 4.13), выбирается независимый контур с данным источником тока.

Рис. 4.13

Уравнение для этого контура не составляется, т.к. его контурный ток равен току источника тока .

В результате система уравнений для цепи рис. 4.13 имеет вид

4.4. Метод узловых потенциалов

Если в разветвлённой электрической цепи число узлов без единицы меньше, чем число независимых контуров (k – 1) [n – (k – 1)], удобно воспользоваться методом узловых потенциалов. Он сводится к составлению и решению системы алгебраических уравнений (k – 1)-го порядка относительно неизвестных потенциалов (узловых потенциалов). При этом потенциал одного из узлов схемы полагают равным нулю. Уравнения с узловыми потенциалами вытекают из первого закона Кирхгофа. После нахождения неизвестных потенциалов определяют токи в ветвях по закону Ома.

Для цепи с источниками ЭДС и тока уравнения, составленные по методу узловых потенциалов, являются однотипными и для m-го узла имеют вид

, (4.16)

где – сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узле m;

, – проводимость ветви, соединяющей узел m с узлом q или s. Если между какими-либо узлами нет ветви, то соответствующая проводимость равна нулю. Если какая-либо ветвь содержит источник тока, то ее проводимость также равна нулю (т.к. внутреннее сопротивление источника тока равно бесконечности);

– ЭДС источника, расположенного в ветви, соединяющей узел m с узлом s;

– ток источника тока, расположенного в ветви, соединяющей узел m с узлом p.

При этом ЭДС (источники тока), направленные к узлу m (относительно которого составляется уравнение), берутся положительными, а направление от этого узла – отрицательными.

Рассмотрим в качестве примера цепь рис. 4.14. Количество узлов в данной цепи k = 4. Принимаем потенциал четвертого узла равным нулю () и составим систему уравнений по методу узловых потенциалов:

Здесь

, , ,

, , .

Рис. 4.14

После определения потенциалов узлов находим токи в ветвях с помощью закона Ома:

, , , ,

, .