3.3. Комплексная форма записи мощности. Баланс мощности

Пусть источник ЭДС нагружен на сопротивление (рис. 3.25).

Рис. 3.25

Известна величина тока в цепи . Рассмотрим так называемый сопряженный комплекс тока , аргумент которого (начальная фаза) имеет противоположный знак по сравнению с аргументом исходного тока .

Обозначим – комплексная мощность источника. Раскроем последнее выражение:

(3.27)

Таким образом, активная мощность источника равна действительной части комплексной мощности: , а реактивная мощность – мнимой части: .

Активная мощность приемников может быть записана с использованием комплексных действующих значений токов и комплексных сопротивлений как , а реактивная мощность – .

Математически баланс активных и реактивных мощностей в комплексной форме можно представить одним выражением. Так, для цепи с источниками ЭДС и тока оно имеет вид

,

или

. (3.28)

Рис. 3.26

Составим для цепи рис. 3.26 баланс мощностей в комплексной форме:

4. Методы расчета линейных электрических цепей

Задачей расчета электрической цепи является определение токов в ее ветвях, потенциалов отдельных точек цепи или напряжений на отдельных участках. При этом должны быть известны конфигурация цепи и параметры её отдельных элементов.

Методы, изложенные ниже, рассматриваются для цепей синусоидального тока. Они же справедливы и для цепей постоянного тока, который следует рассматривать как частный случай переменного с частотой .

4.1. Метод преобразования

Используется, если цепь содержит один источник электрической энергии. В основе метода лежит приведение путем ряда преобразований сложной разветвленной электрической цепи к простейшей, содержащей одно эквивалентное сопротивление. Рассмотрим правила преобразований.

4.1.1. Замена последовательно включенных сопротивлений одним эквивалентным

Элементы включены последовательно, если по ним течёт один и тот же ток (рис. 4.1).

а) б)

Рис. 4.1

Условие эквивалентности преобразования n последовательно включенных сопротивлений (рис. 4.1а) в одно (рис. 4.1б) состоит в том, что при одном и том же напряжении между зажимами ab исходной (рис. 4.1а) и эквивалентной схем (рис. 4.1б) токи в них должны быть также одинаковыми.

Запишем второй закон Кирхгофа для исходной цепи рис. 4.1а:

. (4.1)

Для эквивалентной цепи рис. 4.1б

. (4.2)

Сравнивая (4.1) и (4.2), получим

. (4.3)

Таким образом, эквивалентное комплексное сопротивление равно сумме комплексных сопротивлений последовательно включенных элементов цепи.

4.1.2. Замена параллельно включенных сопротивлений одним эквивалентным

Элементы включены параллельно, если они имеют одну общую пару узлов (рис. 4.2).

а) б)

Рис. 4.2

Условие эквивалентности преобразования n параллельно включенных сопротивлений (рис. 4.2а) в одно (рис. 4.2б) состоит в том, что при одном и том же напряжении между зажимами ab исходной (рис. 4.2а) и эквивалентной схем (рис. 4.2б) входные токи в них должны быть также одинаковыми.

Запишем первый закон Кирхгофа для исходной цепи рис. 4.2а:

,

или

. (4.4)

Для эквивалентной цепи рис. 4.2б

. (4.5)

Сравнивая (4.4) и (4.5), получим

. (4.6)

Таким образом, эквивалентная комплексная проводимость равна сумме комплексных проводимостей параллельно включенных элементов цепи.

В свою очередь, эквивалентное комплексное сопротивление определяется как величина, обратная эквивалентной комплексной проводимости:

. (4.7)

В частном случае параллельного соединения двух элементов (рис. 4.3) эквивалентное сопротивление можно найти по формуле

. (4.8)

Рис. 4.3