1.2. Понятия скорости и ускорения

Вектор называется средней скоростью перемещения точки за время . Вектор , как и вектор , направлен по хорде М₁М₂ (рис.2). Модуль и направление вектора зависят от величины .^

Переходя к пределу (, мы получим вектор мгновенной скорости в точке М₁

.

Следовательно, вектор мгновенной скорости (или проще вектор скорости) равен производной от радиус-вектора по времени.

Поскольку хорда в пределе совпадает с касательной, то вектор мгновенной скорости в каждый момент времени направлен по касательной к траектории.

В декартовой системе координат , где проекции скорости

.

Зная проекции скорости можно определить модуль мгновенной скорости .

Модуль мгновенной скорости можно определить и по-другому. Действительно, допустим, что временной интервал движения . Тогда различие между длиной дуги и стягивающей ее длиной хорды будет уменьшаться (рис.2) и в пределе получим:

. (1)

Отсюда ясно, что модуль мгновенной скорости можно определить либо по производной от пути по времени, либо как модуль производной от радиус-вектора по времени. Оба определения эквивалентны.

Из формулы (1) следует:

или после интегрирования:

Если направление скорости не меняется, то движение называется прямолинейным. Если и величина и направление скорости не меняется, то движение называется равномерным и прямолинейным. При равномерном движении . Тогда

,

где S – путь, пройденный телом; v, t – величина скорости и время движения.

Последняя формула справедлива для любого равномерного (необязательно прямолинейного) движения.

Рассмотрим теперь движение, при котором скорость не остается постоянной, т.е. ускоренное движение.

Ускорение определяется как предел, к которому стремится отношение приращение вектора скорости к промежутку времени движения тела , при условии, что стремится к нулю:

,

Следовательно, вектор ускорения можно определить либо как первую производную от вектора мгновенной скорости по времени, либо как вторую производную от радиус-вектора по времени.

Если ускорение постоянно и направлено как скорость, то величина скорости возрастает, и такое движение называют равноускоренным. Если векторы скорости и ускорения направлены в противоположные стороны, то скорость уменьшается и движение называют равнозамедленным. Для прямолинейного ускоренного движения

, (2)

где и – величины скорости в начальный и конечный моменты времени t. Ускорение a, входящее в формулу (2), величина алгебраическая: для равноускоренного и для равнозамедленного движений. Путь, пройденный телом за промежуток времени от 0 до t при прямолинейном равноускоренном движении, определим, проведя интегрирование выражения (2) по времени:

Рис.3

. (3)

Исключая время из уравнений (2) и (3) получаем соотношение полезное при решении многих задач:

.