Стереометрія зображення геометричних фігур у паралельній проекції

Означення зображення геометричної фігури у паралельній проекції.

Властивості зображень у паралельній проекції:

• зображенням точки є точка;

• зображенням прямої є пряма;

• зберігається належність точки до прямої;

• зберігається паралельність прямих;

• зберігається відношення паралельних відрізків;

• зображенням довільного трикутника може служити довільний інший трикутник;

• зображенням кола може служити довільний еліпс;

• зображенням довільного тетраедра може служити довільний чотирикутник разом з його діагоналями (теорема Польке-Шварца).

• («антівластивість») при паралельному проектуванні лінійні розміри фігури, кути та площі фігур у загальному випадку не зберігаються.

Зображення многокутників: паралелограма, квадрата, ромба та правильного шестикутника. Зображення кола, побудова його центру та спряжених діаметрів. Побудова зображення дотичної до кола у даній точці. Побудова зображень вписаного (або описаного) правильного трикутника, квадрата, прямокутника, правильного п’ятикутника, шестикутника або восьмикутника.

Побудова зображень піраміди, призми, циліндра та конуса. Зображення сфери, паралелі та меридіани, екваторіальна площина та її полюси.

Пряма та обернена теорема Дезарга.

Метричні та позиційні задачі на проекційному кресленні.

Побудова перетинів многогранників, циліндра та конуса площиною по заданих її елементах (три точки, точка і пряма і т.п.).

Прямі та площини

Кут між прямою та площиною. Кут між двома площинами. Паралельність прямої і площини. Ознака паралельності. Ознака перпендикулярності прямої та площини. Ознака паралельності площин. Необхідна та достатня умови паралельності площин. Теорема про три перпендикуляри. Теорема Фалеса у просторі.

Задачі на побудову у просторі.

Теорема Піфагора у просторі. Для прямокутного тетраедра (у якого три плоскі кути при вершині прямі), виконується співвідношення:

.

Тобто, квадрат площі основи дорівнює сумі квадратів площ бічних граней.

Якщо пряма L утворює з трьома взаємно перпендикулярними прямими кути , , і , то .

Многогранники

Призма та паралелепіпед. Об’єм і площа поверхні. Діагональ прямокутного паралелепіпеда d зв’язана з його ребрами a, b, c співвідношенням: .

Піраміда. Правильна піраміда. Об’єм і площа поверхні. Зрізана піраміда. Формула для обчислення об’єму зрізаної піраміди:

.

В частинному випадку бічна поверхня правильної зрізаної піраміди дорівнює добутку півсуми периметрів основ на апофему.

Об’єм правильної зрізаної чотирикутної піраміди обчислюється за формулою:

.

Площа поверхні та об’єм правильної піраміди. Площа поверхні піраміди, у якої всі грані мають однаковий нахил до основи: , де – площа основи. Подібність многогранників.

Правільні многогранники. Теорема Ейлера для многогранників. Протилежні ребра правільного тетраедра ортогональні. У тетраедрі сума відстаней від довільної внутрішньої точки до його граней є стала величина.