Перетворення площини

Вектори, їх властивості, операції над векторами.

Скалярний добуток векторів та його застосування.

Рух площини. Паралельний переніс, центральна і осьова симетрія, обертання, гомотетія.

Координатний метод на площині

Декартові координати на площині. Віддаль між двома точками.

Координати векторів. Скалярний добуток векторів у координатній формі.

Рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки. Рівняння прямої у відрізках. Кутовий коефіцієнт прямої, кут між двома прямими. Криві на площині, рівняння дотичної в даній точці.

Геометричні побудови на площині

Поняття конструктивної задачі на площині. Аксіоми конструктивної геометрії. Аксіоми циркуля і лінійки. Загальна схема розв’язку конструктивної задачі: аналіз, побудова, доведення та дослідження. Зміст кожного етапу розв’язку задачі та його особливості. Елементарні та найпростіші побудови на площині за допомогою циркуля та лінійки:

• поділити даний відрізок навпіл;

• побудувати перпендикуляр до даної прямої у даній точці;

• через дану точку провести пряму, паралельну даній прямій;

• поділити даний відрізок на задану кількість рівних частин;

• поділити даний відрізок у заданому відношенні;

• провести перпендикуляр з даної точки на дану пряму;

• поділити даний кут навпіл;

• побудувати кути в 30^о, 45^о та 60^о;

• при даній вершині і даному проміні побудувати кут, рівний даному куту;

• побудувати трикутник по трьом його сторонам;

• провести коло, яке проходить через три дані точки;

• побудувати коло, вписане в даний трикутник;

• побудувати коло даного радіуса, яке проходить через дві дані точки;

• побудувати центр даного кола;

• побудувати центр даної дуги кола;

• розділити дану дугу кола на дві рівні частини;

• побудувати коло, описане навколо правильного многокутника;

• побудувати коло, вписане в правильний многокутник;

• провести з даної точки дотичну до даного кола;

• побудувати спільну дотичну до двох даних кіл;

• побудувати геометричне місце точок, які ділять навпіл хорди, що виходять з однієї точки кола;

• знайти геометричне місце точок, відстані яких до двох даних точок знаходяться у даному відношенні;

• побудувати геометричне місце точок, з яких даний відрізок видно під даним кутом.

Основні методи розв’язання конструктивних задач та їх особливості: метод перетворень, метод геометричних місць точок та алгебраїчний метод. Основна теорема конструктивної геометрії. Елементарні побудови відрізка х по заданим відрізкам a, b, c, d,..., якщо довжина відрізка х пов’язана з довжинами заданих відрізків формулою:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ,

та деякі більш складні побудови:

6. ;

7. ;

8. 

9. ;

10. ;

11. та інші.

По заданим відрізкам a, b, c, d,... побудувати кут , якщо:

1. ;

2. ;

3. , і A – деякий даний кут;

4. та інші.

Класичні конструктивні задачі, які не розв’язуються за допомогою циркуля та лінійки: подвоєння кубу, квадратуру круга, трисекція кута та побудова правильних многокутників. Геометричні побудови на площині з застосуванням інших, крім циркуля та лінійки, інструментів.