Тестовые задания для самостоятельного решения

11. Легкое. Объем и качество продукции трех фабрик, поступающей в магазин, задается таблицей

	Первая	вторая	третья
Объем поставок	33 %	30 %	37 %
Процент брака	3 %	2 %	4 %

Вероятность того, выбранное наугад изделие окажется нестандартным, равна...

а) 

б) 

в) 

г) 

д) 

12. Средней трудности. В одном стакане 2 игральные кости, в другом 3. Наугад выбранный стакан переворачивается. Вероятность того, что на выпавших костях в сумме будет НЕ МЕНЕЕ трех очков, равна…

а) 

б) 

в) 

г) 

д) 

13. Трудное. Трое стрелков попадают в цель с вероятностями 0,5, 0,7 и 0,8 соответственно Вероятность того, что при стрельбе залпом в цель попал только один, равна…

а)  0,31

б)  0,27

в)  0,22

г)  0,33

д)  0,5

14. Повышенной трудности. Среди женщин-избирателей 70% поддерживают кандидата от партии Л, а среди мужчин-избирателей 60%. Согласно данных переписи, доля женщин составляет 55%. Вероятность того, что выборы выиграет кандидат от партии Л равна ...

а)  0,55

б)  0,745

в)  0,1

г)  0,95

д)  0,655

15. Средней трудности. В первой урне белых шаров вдвое меньше, чем черных, в каждой из остальных девяти белых вдвое больше, чем черных шаров. Вероятность того, что шар, извлеченный из наугад выбранной урны окажется черным, равна...

а) 

б) 

в) 

г) 

д) 

4. Формула Байеса Основные определения

1. Формула Байеса. Если событие A входит в некоторую полную группу событий A₁, A₂,…, A_n, под индексом j, т.е. A = A_j, то .

Примеры решения тестовых заданий

14. Объем и качество продукции трех фабрик задается таблицей

	Первая	вторая	третья
Объем поставок	10 %	20 %	70 %
Процент брака	3 %	2 %	5 %

Вероятность того, выбранное наугад изделие, оказавшееся нестандартным, произведено ТРЕТЬЕЙ фабрикой, равна…

14. Обозначим события:

B = {выбранное наугад изделие бракованное};

H₁ = {изделие произвела первая фабрика};

H₂ = {изделие произвела вторая фабрика};

H₃ = {изделие произвела третья фабрика}. Из условий задачи известны вероятности

P(H₁) = 0,1; P(H₂) = 0,2; P(H₃) = 0,7, а также

P(B | H₁) = 0,03; P(B | H₂) = 0,02; P(B | H₃) = 0,05. Требуется определить .

Найдем эту вероятность по формуле условной вероятности (Определение 3.1.) . В этой формуле все вероятности известны кроме Р(B). Но, ее можно рассчитать по формуле полной вероятности (Определение 3.2.), как это сделано в (Пример 9.). Правильный ответ .

15. В первой урне белых шаров в три раза больше, чем черных, в остальных девяти белых и черных шаров поровну. Вероятность того, что шар, оказавшийся белым, извлечен НЕ ИЗ ПЕРВОЙ урны, равна…

15. Обозначим события:

W = {шар, извлеченный из наугад выбранной урны, оказался белым};

H₁ = {шар извлечен из ПЕРВОЙ урны};

H₂ = {шар извлечен НЕ из ПЕРВОЙ урны}.

Известны вероятности P(H₁) = 0,1 и P(H₂) = 0,9, а также P(W | H₁) = ¾; P(W | H₂) = ½. Вероятность P(W | H₁) вычисляется так. Обозначим за x количество черных шаров в первой урне. Тогда белых шаров там будет 3x. Благоприятствующих исходов m = 3x, общее же число исходов n = x + 3x = 4x. P(W | H₁) = . По формуле Байеса (Определение 4.1.) .

16. Из партии в 4 изделий выбрано одно, оказавшееся бракованным. Тогда из предположений о количестве бракованных изделий в партии наиболее вероятным является….

16. Введем обозначения:

B = {выбрано нестандартное изделие};

H_n = {в партии имеется ровно n нестандартных изделий, где n = 1, 2, 3, 4}. В условии задачи не указаны априорные вероятности гипотез, поэтому будем считать, что они все равны P(H_n) = . Вычислим условные вероятности события B.

P(B | H₁) = ¼, так как есть один благоприятствующий исход из 4-х.

P(B | H₂) = ½, так как есть уже два благоприятствующих исхода из 4-х.

P(B | H₃) = ¾ и, наконец P(B | H₄) = 1. Воспользуемся теперь формулой полной вероятности (Определение 3.2.) и получим P(B) = . Теперь используем формулу Байеса (Определение 4.1.)

, , и .

Ответ: 4.

17. Трое стрелков попадают в цель с вероятностями 0,3, 0,2 и 0,8 соответственно. При стрельбе залпом в цель попали двое. Вероятность того, что ВТОРОЙ стрелок ПРОМАХНУЛСЯ, равна…

17. Сформулируем гипотезы:

H₀ = {в цель никто не попал};

H₁ = {в цель попал 1 стрелок};

H₂ = {в цель попали 2 стрелка};

H₃ = {в цель попали 3 стрелка}. Обозначим событие M₂ = {второй стрелок промахнулся}. Требуется найти P(M₂ | H₂). По формуле Байеса (Определение 4.1.) . P(M₂) = 1 – 0,2 = 0,8, так как события «попал» и «промахнулся» являются противоположными. P(H₂ | M₂) = , так как в этом случае первый стрелок попал и третий попал (про второго стрелка точно известно что он промазал). Для нахождения P(H₂) рассмотрим все варианты, когда в цель попадают 2 стрелка. Есть только три возможности появления такого события: когда промахивается только один из стрелков. . Ответ: .