- •Содержание
- •Классическое и геометрическое определение вероятности Основные определения
- •Примеры решения тестовых заданий
- •Тестовые задания для самостоятельного решения
- •Комбинаторика. Бином Ньютона Основные определения
- •Примеры решения тестовых заданий
- •Тестовые задания для самостоятельного решения
- •Полная вероятность Основные определения
- •Примеры решения тестовых заданий
- •Тестовые задания для самостоятельного решения
- •Формула Байеса Основные определения
- •Примеры решения тестовых заданий
- •Тестовые задания для самостоятельного решения
- •Основные определения
- •Примеры решения тестовых заданий
- •Тестовые задания для самостоятельного решения
- •Непрерывные случайные величины Основные определения
- •Примеры решения тестовых заданий
- •Тестовые задания для самостоятельного решения
- •Статистические методы обработки данных Основные определения
- •Примеры решения тестовых заданий
- •Тестовые задания для самостоятельного решения
- •Оценка параметров генеральной совокупности Основные определения
- •Примеры решения тестовых заданий
- •Тестовые задания для самостоятельного решения
- •Ключи к тестовым заданиям
Тестовые задания для самостоятельного решения
-
Легкое. Количество четырехзначных чисел, составленных из цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что каждая цифра в нем встречается только один раз, равно ...
а) 5
б) 120
в) 4
г) 1
д) 24
-
Средней трудности. Пятизначное число, начинается с 3, заканчивающееся 9 и состоит из различных цифр. Количество чисел такого вида, все цифры которых нечетны, равно…
а) 3!
б)
в)
г)
д) 5!
-
Трудное. Каждые две из 7 производственных единиц соединены парой лент транспортеров, движущихся в противоположных направлениях. Общее количество лент транспортеров равно…
а)
б)
в)
г) 7!
д) 14
-
Повышенной трудности. Количество таких шестизначных чисел, которые начинаются с цифры 2, а все остальные их цифры различны и не меньше 5, равно…
а)
б)
в) 4!
г)
д)
-
Количество правильных дробей, составленных из чисел 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 равно…
а)
б)
в)
г)
д)
-
Полная вероятность Основные определения
-
Формула условной вероятности. Условной вероятностью события В при условии события А с P(A) > 0 называется величина .
-
Формула полной вероятности. Если событие A может произойти только при условии появления одного из событий H1, H2, …, Hn, образующих полную группу, то имеет место формула .
Примеры решения тестовых заданий
-
Объем и качество продукции трех фабрик задается таблицей
|
первая |
вторая |
третья |
Объем поставок |
10 % |
20 % |
70 % |
Процент брака |
3 % |
2 % |
5 % |
Вероятность того, выбранное наугад изделие окажется нестандартным, равна…
-
Обозначим события:
Б = {выбранное наугад изделие бракованное};
H1 = {изделие произвела первая фабрика};
H2 = {изделие произвела вторая фабрика};
H3 = {изделие произвела третья фабрика}.
Из условий задачи известны вероятности
P(H1) = 0,1;
P(H2) = 0,2;
P(H3) = 0,7, а также
P(Б | H1) = 0,03;
P(Б | H2) = 0,02;
P(Б | H3) = 0,05.
Поскольку других производителей у нас нет, и изделие не может быть произведено двумя фабриками одновременно, можно воспользоваться формулой полной вероятности (Определение 3.2.) P(Б) = P(H1) P(Б | H1) + P(H2) P(Б | H2) + P(H3) P(Б | H3) = 0,003 + 0,004 + + 0,035 = . Задачу можно свести к классической схеме. Всего изделий n = 1000, из них 100 произведено первой фабрикой, 200 – второй и 700 – третьей. Считаем m – количество бракованных изделий. m = 3 + 4 + 35 = 42. P(Б) = .
-
В первой урне белых шаров в три раза больше, чем черных, в остальных девяти белых и черных шаров поровну. Вероятность того, что шар, извлеченный из наугад выбранной урны, окажется черным, равна...
-
Обозначим события:
Ч = {шар, извлеченный из наугад выбранной урны, оказался черным};
У1 = {шар извлечен из первой урны};
Уn = {шар извлечен из урны с номером n, где n = 2, …, 9}.
Известны вероятности P(У1) = P(Уn) = 0,1, а также P(Ч | У1) = ¼; P(Ч | Уn) = ½. По формуле полной вероятности (Определение 3.2.)
P(Ч) = P(У1) P(Ч | У1) + + 9P(Уn) P(Ч | Уn) = .
-
В партии 4 изделия, причем все предположения о количестве нестандартных изделий равновероятны. Вероятность выбрать из партии нестандартное изделие равна…
-
Введем обозначения: Б = {выбрано нестандартное изделие}; Hn = {в партии имеется ровно n нестандартных изделий, где n = 0, …, 4}. По условию задачи («предположения о количестве нестандартных изделий равновероятны») P(Hn) = . Вычислим условные вероятности события Б.
P(Б | H0) = 0, поскольку если в партии нет бракованных изделий, выбрать бракованное изделие невозможно.
P(Б | H1) = ¼, так как есть один благоприятствующий исход из 4-х.
P(Б | H2) = ½, так как есть уже два благоприятствующих исхода из 4-х.
P(Б | H3) = ¾ и, наконец P(Б | H4) = 1. Воспользуемся теперь формулой полной вероятности (Определение 3.2.), и получим P(Б) = .
-
В одном стакане одна игральная кость, в другом три. Наугад выбранный стакан переворачивается. Вероятность того, что на выпавших костях в сумме будет 3 очка, равна…
-
Обозначим за x сумму выпавших очков. Сформулируем две гипотезы:
H1 = {выбранный стакан содержит одну кость} и
H3 = {выбранный стакан содержит три кости}. По условию задачи («Наугад выбранный стакан») P(H1) = P(H3) = ½. Если выбранный стакан содержит одну кость, то P(x = 3 | H1) =. Так как граней, содержащих 3 очка всего одна из шести. Если же выбранный стакан содержит три игральные кости, то 3 очка могут выпасть только одним образом: когда на всех трех костях выпадет по 1 очку. Вероятность такого события составляет . По формуле полной вероятности (Определение 3.2.) получаем
P(x = 3) = P(H1)P(x = 3 | H1) + P(H3)P(x = 3 | H3) = .
-
Среди 25 экзаменационных билетов, 7 «легких». Первый билет берет Кондратьев и уносит его с собой, следующий берет билет Иванов. Вероятность того, что Иванову достался билет с «несложными» вопросами равна …
-
Обозначим за Н = {Иванову достался «легкий» билет}. Сформулируем две гипотезы: Л = {Кондратьев унес «легкий» билет} и С = {Кондратьев унес «сложный» билет}. Вычислим P(Л) = , P(С) = . Если Кондратьев унес «легкий» билет, то в стопке билетов осталось 6 «легких» и 18 «сложных». В таком случае P(Н | Л) = . В противном случае в стопке останется 7 «легких», 17 «сложных» и P(Н | С) = . По формуле полной вероятности (Определение 3.2.)
P(Н) = P(Л) P(Н | Л) + P(С) P(Н | С) = .
Кстати говоря, вероятность вытащить «легкий» билет осталась такой же, как если бы Иванов тянул билет первым.