- •Вопрос 1 : Определение определителей второго,третьего,n-го порядков:
- •Вопрос 2. Основные свойства определителей.
- •Вопрос 3.Минор,алгеброическое дополнение,теорема о разложении определителя.
- •Вопрос 4: Система линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными. Формулы Крамера.
- •Вопрос 5:Линейное пространство.Примеры.
- •Вопрос 6: Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского.
- •Вопрос 7 Матрицы. Основные типы матриц.
- •Вопрос 8 Действия над матрицами.
- •Вопрос 9 Свойства операций над матрицами .
- •Вопрос 10 Обратная матрица.Критерий существования обратной матрицы.
- •Вопрос 11 Решение системы из n линейных уравнений и c m неизвестными матричным методом.
- •Вопрос 12 . Ранг матрицы
- •Вопрос 13 метод Метод Гаусса — Жордана
- •Алгоритм
- •Вопрос 14 Критерий совместности линейных уравнений.
- •Вопрос 15 Скалярные и векторные величины. Линейные операции с векторами.
Вопрос 6: Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского.
Пусть E - векторное пространство над полем R. Отображение
которое каждым двум элементам ставит в соответствие действительное число, обозначаемое символом , называется скалярным произведением, если и выполняются следующие аксиомы:
1) ; 3) ;
2) ; 4) .
Векторное пространство, в котором определено скалярное произведение, называется евклидовым пространством.
Неравенство Коши-Буняковского
Пусть дано линейное пространство L со скалярным произведением . Пусть — норма, порождённая скалярным произведением, то есть . Тогда для любых имеем:
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы x и y пропорциональны
Вопрос 7 Матрицы. Основные типы матриц.
Матрица- прямоугольная числовая таблица, содержащая m строк и n столбцов, если матрица составляется из коэффициентов взятых из системы линейно-алгебраических уравнений (СЛАУ),То она называется матрицей СЛАУ
Типы матриц:
Квадратная(матрица размера an,nxn), диагональная (квадратная матрица у которой все элементы вне главной диагонали равны 0), единичная(диагональная матрица с единицами на главной диагонали),нулевая(матрица, элементы которой равны 0),симметрическая, столбцевая(матрица состоит из одного столбца),строчная(матрица состоит из одной строки),вырожденная (если определитель = 0).
Вопрос 8 Действия над матрицами.
Сложение и вычитание матриц - одно из простейших действий над ними, т.к. необходимо сложить или отнять соответствующие элементы двух матриц. Складывать и вычитать можно только матрицы одинаковых размеров, т.е. тех, у которых одинаковое количество строк и одинаковое количество столбцов.
Умножение матрицы на число - процесс, заключающийся в умножении числа на каждый элемент матрицы.
Умножение двух матриц
Пусть A и B согласованные матрицы. Преобразованием матриц является матрица C , такая что элементы C ik = сумме произведений соответствующих элементов i строки матрицы A на элементы k столбца матрицы B.
Возведение в степень
Возводить в степень можно только квадратную матрицу,чтобы матрицу A возвести в степень n , нужно числа A11 * A11, потом полученную матрицу снова умножить на A и т д. n-1 раз
Транспонирование
Операция транспонирования и умножение матриц связаны след. образом:
Вопрос 9 Свойства операций над матрицами .
A+B=B+A; (перестановочность или коммутативность операции сложения
(A+B)+C = A+(B+C); (ассоциативность или сочетательное свойство)
A+O = O+A =A;
A+(-A)=(-A)+A=O.
;
-A=(-1)A.
Вопрос 10 Обратная матрица.Критерий существования обратной матрицы.
Обра́тная ма́трица — такая матрица A−1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:
. Квадратная матрица А называется невырожденной, или неособенной, если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной, или особенной, если D = 0.
Теорема. Для того, чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.
Матрица, обратная матрице А, обозначается через А-1, так что В = А-1. Обратная матрица вычисляется по формуле
,
где А i j - алгебраические дополнения элементов a i j.