Вопрос 11 Решение системы из n линейных уравнений и c m неизвестными матричным методом.

Системой m линейных уравнений с n неизвестными  называется система S вида

,                                                                        

где  коэффициенты при неизвестных,  свободные члены ( ,  заданные числа).

Решением системы  называется упорядоченный набор действительных чисел , при подстановке которых в каждое уравнение системы вместо  соответственно будут получены верные числовые равенства.

. Система  называется совместной (несовместной), если она имеет хотя бы одно решение (не имеет решений).

Совместная система  линейных алгебраических уравнений называется определённой (неопределённой), если она имеет единственное решение (множество решений).

Матрица , составленная из коэффициентов при неизвестных, называется основной матрицей системы :

Матрица

называется расширенной матрицей этой  системы.

Замечание. Система  может быть переписана в так называемом матричном виде:

где  вектор-столбец свободных членов системы.

Если все свободные члены системы уравнений равны нулю, то такая система называется однородной, если же хотя бы один свободный член отличен от нуля, система называется неоднородной.

Однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель основной матрицы системы равен нулю.

Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называют следующие операции:

1) сложение обеих частей одного уравнения с соответствующими частями другого, умноженных на одно и то же число, не равное нулю;

2) перестановка уравнений местами;

3) удаление из системы уравнений, являющихся тождествами.

Вопрос 12 . Ранг матрицы

Определение: рангом матрицы А, называется максимальная система линейнонезависимых строк (столбцов) матрицы. Ранг матрицы по столбцам и по строкам совпадает

Алгоритм

Обозначения:

А - матрица, состоящая из n строк и k столбцов; A(i, j) - элемент матрицы, стоящий на i-ой строке, в j-ом столбце.

Алгоритм:

Основа алгоритма - цикл по всем элементам главной диагонали. Для квадратной матрицы размера n будет n итераций. Для прямоугольной матрицы, состоящей из n строк и k столбов, число итераций будет равно min(n, k). Пусть i - счетчик итераций.

Каждый проход цикла устроен следующим образом.

1. Если A(i, i) равен нулю, то в прямоугольнике (i, i, n, k) ищем ненулевой элемент. Если он не найден, то выходим из цикла. Если он найден, и его координаты (i2, j2), то меняем местами i-ую строку с i2-ой, и j-ый столбец с j2-ым. Делим i-ую строку матрицы на A(i, i). Таким образом A(i, i) теперь равен 1.

2. При помощи вычитания i-го столбца из всех столбцов стоящих правее, и i-ой строки из всех строк стоящих ниже, с определенными коэффициентами, зануляем все элементы вида А(i+1, i), A(i+2, i), ... A(n, i) и A(i, i+1), A(i, i+2), ... A(i, k).

3. Переходим к следующей итерации.

После цикла остается подсчитать сколько единиц стоит на главной диагонали. Их кол-во равно рангу. Если же их нет, то ранг равен 1.