Основні показники варіації
Розмах варіації (R) – це різниця між найбільшим і найменшим значеннями ознаки:
R = хmax – хmin.
Середнє
лінійне відхилення
(розраховують без урахування знаків):
|
просте
|
зважене
|
;
,
де
х
— індивідуальне
значення ознаки (варіанта);
— середнє
значення ознаки; п
— кількість
варіантів; f
— частота.
Середній квадрат відхилення (σ2) — дисперсія:
|
проста
|
зважена
|
;
.
Середнє квадратичне відхилення (σ):
|
просте
|
зважене
|
;
.
Коефіцієнт варіації (використовують, порівнюючи варіації однієї й тієї самої ознаки в різних сукупностях):
|
лінійний
|
квадратичний
|
Приклад 1. На основі даних про витрати часу на виготовлення однієї деталі кожним з трьох робітників (1/2, 1/3, 1/7) обчислити середні витрати часу на виготовлення однієї деталі.
Розв'язання. Для обчислення середніх витрат часу на виготовлення однієї деталі використаємо формулу середньої гармонійної простої:
.
Тоді
Отже,
середні витрати часу на виготовлення
однієї деталі становлять
Приклад 2. На основі наведених у табл. 1.8 даних групування промислових підприємств за обсягом виробленої продукції розрахувати:
1) середній обсяг виробленої продукції в розрахунку на одне підприємство;
2) характеристики центру розподілу;
3) показники варіації.
Таблиця 1.8
Групування промислових підприємств за обсягом виробленої продукції
|
Номер групи |
Вихідні показники |
Розраховані показники |
|||
|
Обсяг виробленої продукції, млн. грн.
|
Кількість підприємств f
|
Середина інтервалу (варіанти) х
|
Варіанти, зважені на частоти xf
|
Кумулятивні частоти Sf |
|
|
І |
1,0–2,5 |
7 |
1,75 |
12,25 |
7 |
|
II
|
2,5–4,0 – |
10
|
3,25
|
32,50
|
17
|
|
III
|
4,0–5,5
|
5
|
4,75
|
28,75
|
22
|
|
IV
|
5,5–7,0
|
8
|
6,25
|
50,00
|
30
|
|
Разом
|
30
|
—
|
118,50
|
—
|
|
Розв'язання. 1. Середній обсяг виробленої продукції в розрахунку на одне підприємство.
Дані наведено у вигляді ряду розподілу і згруповано. Тому для розрахунку середнього обсягу виробленої продукції на одне підприємство використовуємо формулу середньої зваженої:
млн
грн
де f — частота (тобто кількість ознак).
2. Характеристики центру розподілу.
Знайдемо характеристику центру розподілу — моду (Мо).
Мода у статистиці — це та варіанта, яка найчастіше повторюється в сукупності.
В
інтервальних рядах розподілу мода
визначається за формулою
де
— нижня межа модального інтервалу, там
де більша частота (найбільше підприємств);
h
— величина
модалього інтервалу;
-
модальна частота;
— передмодальна частота;
-
післямодальна частота.
За даними табл. (1.9) найбільшу частоту має інтервал 2,5–4,0.
Отже, найбільша кількість підприємств має обсяг виробленої продукції 3,063 млн грн
Тепер визначимо характеристику центру розподілу — медіану (Me).
Медіана — це варіанта, що ділить упорядкований ряд на дві рівні за чисельністю частини. При цьому в одній частині значення варіюючої величини буде меншим, ніж у другій.
В інтервальних рядах розподілу медіана визначається за формулою
де
– нижня межа медіанного інтервалу; h
– величина медіанного інтервалу;
– сума всіх частот;
–
сума кумулятивних частот (до медіанної
частоти);
-
медіанна частота.
Підставляючи числові значення, визначаємо
млн
грн
Отже, половина підприємств має обсяг виробленої продукції понад 3,7 млн грн, а інша — менший ніж 3,7 млн грн.
3. Показники варіації.
Розмах варіації
R = хтах - хтіп = 7,0 – 1,0 = 6,0 млн грн.
Цей показник характеризує діапазон варіації ознаки, тобто обсяги виробленої продукції за підприємствами варіюють у цих межах.
Середнє лінійне відхилення — це середня арифметична з відхилень індивідуальних значень ознаки від їх середнього значення. Модуль відхилень варіації від її середнього значення використовують тому, що алгебраїчна сума цих відхилень дорівнює нулю. Для рядів з нерівними частотами
,
де
- абсолютне значення відхилення варіації
від її середнього значення; f – частота.
Спочатку знаходимо середину в кожному інтервалі за допомогою середньої арифметичної. У такий спосіб, інтервальний ряд перетворюємо на дискретний. Загальний середній рівень визначають за допомогою арифметичної зваженої
млн
грн
Середнє лінійне відхилення
млн
грн
Отже, обсяги виробленої продукції в окремих групах відхиляються від середнього значення в середньому на 1,493 млн грн.
Дисперсія — це середній квадрат відхилення варіантів від їх середньої арифметичної. Отже,
За
формулою різниці квадратів
,
де
– середнє значення квадрату;
– квадрат середнього значення. Отже,
Середнє квадратичне відхилення обсягу виробленої продукції (абсолютне коливання значень варіюючої ознаки)
млн.
грн.
Отже, обсяги виробленої продукції в окремих групах відхиляються від середнього значення в сукупності в середньому на 1,676 млн. грн.
Коефіцієнт варіації використовують для оцінки однорідності досліджуваної сукупності щодо ознаки, яка вивчається, тобто під час порівнювання варіації різних ознак або однієї ознаки в різних сукупностях.
Вважатимемо сукупність однорідною, а середнє значення — надійним і типовим, якщо коефіцієнт варіації не перевищує 33 %.
Відношення середнього квадратичного відхилення до середньої ознаки
Отже, сукупність за обсягом виробленої продукції неоднорідна щодо середньої річної вартості основних виробничих фондів.
Дані для розрахунку показників варіації обсягу виробленої продукції наведені в табл. 1.9
Таблиця 1.9
-
Вихідні показники
Розрахункові показники
Номер групи
Обсяг виробленої продукції, млн грн
Кількість підприємств (частота) f
Середина інтервалу (варіанти) х
Варіанти, зважені на частоти хf
х2
х2f
I
II
III
IV
1,0–2,5
2,5–4,0
4,0–5,5
5,5–7,0
7
10
5
8
1,75
3,25
4,75
6,25
12,25
32,50
28,75
50,00
-2,20
-0,70
0,80
2,30
15,40
7,00
4,00
18,40
4,84
0,49
0,64
5,29
33,88
4,90
3,20
42,32
3,063
10,563
22,563
39,063
21,438
105,625
112,813
312,500
Разом
30
—
118,50
—
44,80
—
84,30
—
552,375