Глава 7. Диференціальні рівняння

§ 7.1 Диференціальні рівняння першого порядку. Задача Коші. Загальний і частинний розв’язок диференціального рівняння першого порядку

7.1.1 Загальні поняття та означення. Геометричний зміст диференціального рівняння

Диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння виду

, (1)

яке пов’язує незалежну змінну , невідому функцію та її похідну.

Розв’язком диференціального рівняння (1) на деякому

інтервалі називається диференційована на цьому інтервалі функція , яка при підстановці в рівняння (1)

перетворює його в тотожність по на .

Функція , яка залежить від аргументу і довільної сталої , називається загальним розв’язком рівняння(1) в області , якщо вона задовольняє дві умови:

1) функція є розв’язком рівняння при будь-якому значенні сталої з деякої множини;

2) для довільної точки можна знайти таке значення , що функція задовольняє початкову умову:

.

Частинним розв’язком рівняння (1) називається функція

, яка утворюється із загального розв’язку при певному значенні сталої .

Якщо загальний розв’язок диференціального рівняння знайдено в неявному вигляді, тобто у вигляді рівняння , то такий розв’язок називають загальним інтегралом диференціального рівняння (1). Рівність називають частинним інтегралом рівняння.

І. Перевірити, чи є розв’язками даних диференціальних рівнянь указані функції. :

1. , ;

2. , ;

3. , ;

4. , ;

5. , ;

6. , .

ІІ. Довести, що для даних диференціальних рівнянь указані функції є розв’язком при будь-якому значенні , і знайти частинні розв’язки, що задовольняють початковим умовам:

1. , , .

2. , , .

ІІІ. Чи є слідуючі функції

а) ; a) ;

1. b) ; 2. b) ;

c) ; c) .

розв’зком рівнянь:

1. . 2. .

ІV. Знайти значення , при яких задана функція є розв’язком рівняння:

1. , ;

2. , .

§ 7.2 Диференціальні рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку

7.2.1 Диференціальні рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними

Рівняння виду

, (1)

де і - задані і неперервні на деякому інтервалі функції, називається диференціальним рівнянням з відокремлюваними змінними.

Рівняння виду

(2)

називається диференціальним рівнянням з відокремленими змінними.

Загальний інтеграл диференціального рівняння (2) має вигляд

.

Диференціальне рівняння (1) є окремим випадком рівняння виду

.

Для відокремлення змінних у цьому рівнянні досить обидві його частини поділити на функцію . При цьому втрачаємо розв’язки , .

7.2.2 Однорідні диференціальні рівняння

Функція називається однорідною функцією -го виміру відносно змінних та , якщо для довільного виконується тотожність

. (1)

Диференціальне рівняння

(2)

називається однорідним, якщо функція * є однорідною функцією нульового виміру.

Підстановкою

, , ,

де - невідома функція, рівняння (2) зводиться до рівняння з відокремленими змінними

.

Рівняння виду

,

де , , , , , - задані сталі, зводиться до однорідного рівняння

змінною , , якщо . Числа і знаходяться із систем рівнянь

І. Знайти загальний розв’язок рівняння:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

ІІ. Знайти частинні розв’язки рівнянь:

1. , якщо , при ;

2. , якщо , при ;

3. , якщо , при ;

4. , якщо , при ;

5. , якщо , при .

ІІІ. Розв’язати рівняння:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

ІV. Знайти частинні розв’язки рівнянь:

1. , якщо , при ;

2. , якщо , при ;

3. , якщо , при ;

4. , якщо , при ;

5. , якщо , при .