4.3.2 Найбільше і найменше значення функції

Неперервна на відрізку функція набуває своїх найбільшого і найменшого значень або в критичних точках (у точках, в яких похідна перетворюється в нуль або не існує), що належать цьому відрізку, або на його кінцях.

I .Знайти і обчислити інтервали монотонності функції:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. .

II .Знайти локальні екстремуми функцій:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. .

III. Знайти найбільше і найменше значення функції на заданому відрізку:

1. , ;

2. , .

IV .Використовуючи другу умову локального екстремуму, знайти локальні екстремуми функції:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

V. Використовуючи третю достатню умову локального екстремуму, знайти локальні екстремуми функції в т. :

1. ; т. ;

2. ; т. .

§4.4 Опуклість і вгнутість кривих. Точки перегину. Асимптоти кривої. Дослідження функції та побудова її графіка

4.4.1 Опуклість і вгнутість кривих

Якщо для , то графік функції на цьому інтервалі опуклий (вгнутий). У точці перегину друга похідна обертається на нуль або не існує і, проходячи через цю точку, змінює знак.

4.4.2 Асимптоти кривої

Вертикальна асимптота графіка функції має вигляд

,

де - те значення аргументу, при якому функція обертається на нескінченність. Рівняння похилої асимптоти

,

де

, ,

якщо ці границі існують і скінчені.

4.4.3 Схема дослідження функції та побудова її графіка

Схема дослідження:

1. знайти область існування функції;

2. знайти (якщо це можливо) точки перетину графіка з координатними осями;

3. дослідити функцію на періодичність, парність і непарність;

4. знайти точки розриву та дослідити їх;

5. знайти інтервали монотонності, точки екстремумів та значення функції у цих точках;знайти інтервали опуклості, вгнутості та точки перегину;

6. знайти асимптоти графіка функції;

7. на основі проведеного дослідженння побудувати графік функції.

І. Дослідити на опуклість графіки функцій:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. .

ІІ. Знайти точки перегину графіка функції:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

ІІІ. Знайти асимптоти кривих:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

ІV. Дослідити функцію і побудувати її графік:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

Глава 5. Інтегральне числення функції однієї змінної

§5.1 Невизначений інтеграл. Основні методи інтегрування невизначеного інтеграла

1. Метод безпосереднього інтегрування

Функція називається первісною функції на проміжку , якщо диференційована на і для всіх .

Якщо - первісна функції на проміжку і - довільна стала, то множина всіх первісних функцій називається невизначеним інтегралом функції на цьому проміжку і позначається символом . Отже, за означенням,

, якщо , .

Властивості невизначеного інтеграла.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. Якщо і - довільна функція, що має неперервну похідну, то .

Таблиця основних інтегралів

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8..

9. . 10. .

11. . 12. .

13. . 14. .

15. . 16. .

17. . 18..

19. .

20. .

21. .

22..