Глава 4. Диференціальне числення функції однієї змінної

§4.1 Означення похідної. Рівняння дотичної. Рівняння нормалі

4.1.1 Похідна

Похідною функції у точці називається границя

,

де - приріст аргументу, а - приріст функції.

Позначається похідна через , або , або . Отже,

, або .

Значення похідної функції при дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, проведеної до графіка функції у точці з абсцисою , тобто .

З погляду фізики похідна має таке тлумачення:

а) швидкість руху , де - шлях, - час;

б) лінійна густина , де - маса стержня, - довжина;

в) сила струму , де – кількість електрики, що проходить через провідник, - час;

г) теплоємність , де – кількість теплоти; -температура.

Односторонні похідні позначаються відповідно так:

Ліва похідна ;

Права похідна .

Якщо обидві ці границі існують і рівні між собою, то тільки в цьому випадку кажуть, що в цій точці існує похідна:

.

1. Знайдіть похідну функції в точці X, використовуючи означення похідної.

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

2. Скласти рівняння дотичної і нормалі до кривої в т. А(2;8). Знайти довжини відрізків дотичної і нормалі в цій точці.

3. Скласти рівняння дотичної і нормалі до параболи в т. (2;4). Знайти довжини піддотичної і піднормалі в цій точці.

4. Написати рівняння дотичної і нормалі до функції в точці :

а) ; т. ;

б) ; т. .

5. У якій точці дотична до кривої нахилена до осі Ох під кутом, величина якого дорівнює ?

6. Під яким кутом дотична до кривої в точці (0;1) перетинає вісь Ох?

7. У параболи проведена дотична в точці:

а) (0;0);

б) (2;1);

в) (4;0).

Знайти величину кута нахилу до дотичної до осі Ох.

4.1.2 Геометричне застосування похідної

Рівняння дотичної до графіка функції у точці має вигляд

,

а рівняння нормалі

.

Довжина дотичної

;

довжина нормалі

;

довжина піддотичної

;

довжина піднормалі

.

§4.2 Правило обчислення похідних. Похідна показникової, логарифмічної, тригонометричної, складеної функцій.

Основні правила диференціонування. Вважаємо, що - стала величина, а і - деякі диференційовні функції від .

1. .

2. .

3. .

4. .

5. Якщо , де , то , або .

6. Якщо , а , то .

7. Якщо , то .

Таблиця похідних.

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. . 9. .

10.. 11. . 12.. 13. . 14. . 15. . 16. . 17. .

18. .

1. Знайдіть похідні наступних функції:

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. ;

15. .

II. Знайдіть похідну функції в т. :

1. , ;

2. , ;

3. , ;

4. , ;

5. , ;

6. , ;

7. , ;

8. , ;

9. , .

§4.3 Монотонність функції. Локальний екстремум функції. Найбільше і найменше значення функції.

4.3.1 Монотонність і екстремум функції

Якщо для , то функція на цьому інтервалі зростає (спадає).

Якщо функція в точці має екстремум, то її похідна в цій точці обертається на нуль або не існує і, проходячи через цю точку, похідна змінює знак.

У випадку мінімуму похідна, проходячи через цю точку зліва направо, змінює знак з «-» на «+», у випадку максимуму – з «+» на «-».

Функція в точці має максимум (мінімум), якщо в цій точці і .

Якщо в точці перша похідна від функції обертається на нуль, а перша відмінна від нуля похідна буде парного

порядку, то в цій точці функція має екстремум, при чому мінімум, якщо ця похідна додатна, і максимум, якщо від’ємна.