Дискретизация сигнала во времени

осуществляется путем взятия отсчетов первичного сигнала S(t) в определенные моменты t_k. В результате непрерывную функцию S(t) заменяют совокупностью мгновенных значений (отсчетов) {S(t_k)}. Обычно моменты отсчетов выбираются на оси времени равномерно, т.е. {t_k=kT_д} , где T_д - шаг дискретизации.

Рис. 1. Сигнал после дискретизации во времени

Спектральная трактовка дискретизации

Процесс дискретизации сводится к образованию произведения дискретизируемой функции S(t) на последовательность импульсов дискретизации S_д(t). Произведению функций во временной области соответствует свертка их спектров в спектральной области. Пусть функция S(t) (рис.2) имеет финитный спектр S(f) (рис.3), где f_в – верхняя (граничная) частота.

Рис.2 Рис.3

Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов S_д(t) (рис.4) дискретизации является линейчатым (рис.5), а частота дискретизации определяется интервалом дискретизации:

.

Рис.4 Рис.5

Спектр отсчетов представляет собой периодическую функцию спектра исходного сигнала, повторяющуюся с периодом, равным частоте дискретизации. Величина τ влияет на пологость sinx/x. Если τ→0, то амплитуду можно считать постоянной. Реально очень трудно сделать импульс нулевой ширины.

Спектры дискретизированного сигнала представлены для случаев, когда f_д = 2f_в (рис.6),

f_д > 2f_в (рис.7), когда f_д < 2f_в (рис.8).

Рис.6

Рис.7

Рис.8

3. Восстановления непрерывной функции по отсчётам

Для неискаженного воспроизведения функции по последовательности отсчетов посредством идеального ФНЧ, необходимо выбирать частоту дискретизации так, чтобы спектральные компоненты свёртки S(f) с каждой из дискретных составляющих периодической функции S_р(f) располагались в непересекающихся областях (рис.6, 7). Этому соответствуют значения f_д ≥ 2f_в. При f_д < 2f_в спектральные области перекрываются, в полосу частот (-f_в, f_в) дискретизируемого сигнала попадут спектральные компоненты смежных областей и возникнут искажения при восстановлении функции по отсчетам.

Процесс восстановления непрерывной функции S(t) по отсчетам её мгновенных значений S(kТ) вытекает непосредственно из ряда Котельникова:

необходимо перемножить значения отсчетов S(kТ) на соответствующие отсчетные функции sinx/x и просуммировать полученные произведения.

Эти операции иллюстрирует рис. 9-11.

Спектральная трактовка процесса восстановления следует из рис.6-8.

Рис.9

Рис.10

Рис.11

Таким образом, для полного восстановления необходимо просуммировать бесконечное число членов ряда (2). Однако если функции с ограниченным спектром рассматривать на конечном интервале Т, то точное разложение можно заменить следующим приближенным разложением:

(4)

Конечное число отсчетов n, определяющих равно ( при ∆t =)

(5)

Параметр называют базой сигнала.

Погрешность представления сигнала при ограничении числа его отсчётов будет тем больше, чем меньшее число слагаемых учитывается при суммировании.