Задача № 3.

За даними вибірки F₃ при рівні значущості знайдіть надійні інтервали для невідомих параметрів а та у випадку нормального розподілу.

Розв’язання:

Складаємо таблицю № 5 за даними вибірки F₃ :

Таблиця № 5.

i	xi	Xi-
1	-35	-5,8	33,64
2	-32	-2,8	7,84
3	-26	3,2	10,24
4	-35	-5,8	33,64
5	-30	-0,8	0,64
6	-17	12,2	148,84
	-175	-	234,84

Обсяг вибірки n=6.

Обчислюємо вибіркове середнє та вибіркову незміщену дисперсію .

Маємо

- вибіркове середнє, квадратичне або вибіркове стандартне відхилення. Надійний інтервал для невідомого математичного сподівання має вигляд:

, . Значення знаходимо за таблицею G розподілу Стьюдента при k=n-1=5, 1-=0,9 , звідки .

Отже,

Надійний інтервал для невідомої дисперсії визначається так: ,

де числа Х₁² і Х₂² визначаються за таблицею № 5 розподілу Х²(k, a).

i .

Маємо .

Це значення знаходимо на перетині рядка таблиці № 5 для якого к=5 і стовпчика .

Оскільки

то , тобто значення знаходимо на перетині рядка К=5 і стовпчика 1-0б95=0,05.

Задача № 4.

За вибірками F₃ і F₄ , перевірити гіпотезу про рівність дисперсій при невідомих математичних сподіваннях за умови, що .

Розв’язання:

Для вибірки F₃ вибіркові числові характеристики розглянуто в задачі № 3, обчислимо , для вибірки F₄ .

Обсяг вибірки F₃ : n₁=6; обсяг вибірки F₄ : n₂=6. Для вибірки F₃ маємо .

Таблиця № 6.

i	xi	Xi-
1	-31	1	1
2	-27	5	25
3	-28	4	16
4	-35	-3	9
5	-40	-8	64
6	-31	1	1
	-192	-	116

Позначимо для вибірки F₃ через , для вибірки F₄ через , .

Нехай потрібно перевірити гіпотезу H₀:, де - дисперсія генеральної сукупності із статистикою F₃, - дисперсія генеральної сукупності із статистикою F₄ . При справедливості гіпотези випадкова величина.

, де ,

має розподіл Фішера – Снедекора з степенями свободи. Критична множина задається умовою: .

Величина , де знаходиться за таблицею розподілу Фішера – Снедекора (таблиця № 7 додатка).

В нашому випадку , а тому .

Отже, при F>5,05 гіпотеза H₀ повинна бути відхилена. Але в надамо випадку:

Оскільки , то гіпотеза H₀ приймається, тобто можна вважати дисперсії генеральних сукупностей рівними.

Задача № 5.

За вибіркою А, в наведеній в задачі № 1, за допомогою критерію Х² перевірити гіпотезу, що випадкова лелечина має пуассонівський розподіл при рівні значущості .

Розв’язання:

Для варіаційного ряду, отриманого в задачі № 1(дивись таблицю № 1), обчислено значення , а також . Незміщена оцінка дисперсії:

.

Параметром розподілу Пуассона є , при цьому . Оцінки і близькі за значеннями, але не є рівними. В таблиці розподілу Пуассона наближеними до них значеннями є 2 і 3. Перевіримо гіпотезу при =3. Частоти останніх значень варіаційного ряду є малими, тому об’єднаємо їх в один інтервал ( ). Кількість інтервалів .

Для підрахунку теоретичних ймовірностей Р_і скористаємось законом Пуассона:

, n=79

Значення Р_і знаходимо за таблицею № 3 (розподіл Пуассона). При цьому теоретичні частоти обчислюємо за формулою . Наприклад,. Далі результати обчислень наведемо у таблиці.

Таблиця № 7.

xi	mi	Pi
0	4	0,0498	3,9	0,1	0,01	0,0026
1	13	0,1494	11,8	1,2	1,44	0,1220
2	14	0,2240	17,7	-3,7	13,69	0,7734
3	24	0,2240	17,7	6,3	39,69	2,2424
4	16	0,1680	13,3	2,7	7,29	0,5481
	8	0,1847	14,6	-6,6	43,56	2,9836
	79	0,9999	79,0	-	-	6,6721

Значення . Кількість інтервалів r=6, кількість невідомих параметрів l=1. Тоді число степенів свободи k=r-l-1=6-1-1=4. За таблицею № 5 знаходимо для k=4 i 1-, . Отже, , а тому гіпотеза приймається.