Математична статистика. Індивідуальне завдання. Розв’язання завдань варіанта 0. Задача № 1.

Дана вибірка А:

4 2 4 3 3 3 2 0 6 1 2 3 2 2 4 3 3 5 1 2

2 4 3 2 2 3 3 1 3 3 3 1 1 2 3 1 4 3 1 0

7 4 3 4 2 3 2 3 3 1 4 3 1 4 5 3 4 2 4 5

3 6 4 1 3 2 4 1 3 1 0 0 4 6 4 7 4 1 3

n = 79;

1. складіть варіаційний ряд;

2. обчисліть відносні частоти та накопичені частоти статистичного варіаційного ряду;

3. побудуйте полігон варіаційного ряду;

4. складіть емпіричну функцію розподілу та побудуйте її графік;

5. обчисліть числові характеристики варіаційного ряду, вибіркове середнє, вибіркову дисперсію, вибіркове відхилення, моду, медіану.

Розв’язання:

За даною вибіркою знаходимо х_min = 0, x_max = 7. Варіаційний ряд має вигляд х₁ = 0, х₂ = 1, х₃ = 2, х₄ = 3, х₅= 4, х₆ = 5, х₇ = 6, х₈ = 7. Далі обчислюємо частоти, відносні частоти, накопичені частоти і дані подаємо за таблицею № 1.

Таблиця № 1.

хі	mi		Накопичені частоти
0	4	0,0506	0,0506
1	13	0,1646	0,2152
2	14	0,1772	0,3924
3	24	0,3038	0,6962
4	16	0,2025	0,8987
5	3	0,0380	0,9367
6	3	0,0380	0,9747
7	2	0,0253	1

Всі відносні частоти обчислюємо з точністю. При побудові графіка полігона по осі абсцис подаємо значення від 0 до 7, по осі ординат частоти W_i від 0 до 0,3.

Графік № 1.

Емпіричну функцію розподілу F_n(x) знаходимо за формулою:

(1)

або в розгорнутому вигляді:

(2)

Таким чином, маємо:

Графік № 2.

Оскільки значення варіант х_і є рівновіддаленими ( крок таблиці h=1), то для підрахунку числових характеристик варіаційного ряду доцільно перейти до умовних змінних U_i за формулою:

(3)

де с –варіанта, яка має найбільшу частоту. В нашому випадку с=3, h=1, тому U_i =x_i-3. Складаємо розрахункову таблицю № 2.

Таблиця № 2.

xi	ni
0	4	-3	-12	9	36
1	13	-2	-26	4	52
2	14	-1	-14	1	14
3	24	0	0	0	0
4	16	1	16	1	16
5	3	2	6	4	12
6	3	3	9	9	27
7	2	4	8	16	32
	79	-	-13	-	189

Далі використовуємо наступні розрахункові формули:

(4)

(5)

Отже маємо:

Модою М₀ є те значення варіанти, яке має найбільшу частоту, тобто М₀=3.

Обсяг вибірки n=79 є непарним числом. Тому медіаною буде те значення варіанти, яке ділить варіаційний ряд навпіл, тобто медіаною буде 39-те значення варіаційного ряду: М_е=3.