§2. Предикаты.
Рассмотрим следующие высказывания.
-
… больше
. -
∘∘∘∘
‒
‒ ‒ ‒
-
*** есть отец ~~~~
-
∙∙∙∙∙∙∙ + ‒‒‒‒‒<*****
Это предикаты, своего рода заготовки для предложений.
Определение.
Предикатом называется высказывание, содержащее одно или несколько пустых мест и обращающиеся в предложение всякий раз, когда пустые места (переменные) замещены конкретными предметами, принадлежащими некоторым определённым классам объектов.
Пустые места будем обозначать буквами x, y, z, …, а сами предикаты буквами P, Q, R, … .
P(x) – предикат, содержащий одно переменное.
Q(x, y) – предикат, содержащий две переменные (два пустых места).
Примеры предикатов.
-
x>
-
x
-
z отец υ
-
x+y<ω
Над предикатами можно производить такие же действия, как и над предложениями.
В то же время в отличи от предложений предикаты не могут быть ни истинными, ни ложными.
§3. Кванторы.
Замещение пустых мест в предикате не единственный способ получения предложений.
Пусть
P(x)
x – певец мужского хора МИФИ.
Условимся замещать x – всеми мальчиками, присутствующими в аудитории на лекции.
Символ
условимся читать как „каждый” или
„любой”, или „все”, а символ
- как „существует”, „найдётся” или
„есть хоть один”.
Тогда
P(x)
– все присутствующие поют в хоре МИФИ.
x:
P(x)
– среди присутствующих есть хоть один,
поющий в хоре МИФИ.
Определение.
Символы
называются квантором
общности и
квантором
существования
соответственно.
Q(x,
y)
x прочитал y.
{y} – произведения де Сент-Экзюпери.
x – присутствующие в аудитории.
x
:
Q(x,
y)
(v)
:
Q(x,
y)
(vv)
В
математике в тех случаях, когда А
В истинно, то говорят, что В является
необходимым
условием для А, а А – достаточным
условием для В.
При
построении отрицания предложения,
полученного воздействием кванторов на
предикат все
объекты остаются на своих местах,
каждый квантор
общности
яется
на квантор существования
,
а каждый квантор
существования
заменяется на квантор общности
и над предикатом ставится черта.
Примеры.
-
(А)
({xn}
ограничена)
({xn}
ограничена сверху)
(
{xn}
ограничена снизу)
(
В
n:
xn
В)
(
А
n:
А
xn)
(
)
({xn}
неограниченна)
({xn}
неограниченна сверху)
({xn}
неограниченно снизу)
(
В
n:
xn>В)
(
А
n:
А>xn)
-
(В)
({xn}
монотонна)
({xn}
убывает)
({xn}
возрастает)
(
:
xn
xn+1)
(
:
xn
xn+1)
(
)
({xn}
не является монотонной)
({xn}
неубывающая)
({xn}
невозрастающая)
(
:
xń<xń+1)
(
ň:
xň>xň+1)
-
(С)
({xn}
сходится)
(
а:
а=
xn)
(
а
>0
N
n>N:
│xn
- а│<
)
(
)
({xn}
расходится)
(
а
>0
N
n:
│xn
- а│
)++++++++
-
(D)
({xn}
б.м.)
(0=
xn)
(
>0
N
:
│xn│<
)
(
)
({xn}
не является б.м.)
(
>0
N
:
│xn│
)
§4. Предельный переход в неравенствах. (Глава 2)
Теорема 1. (Для одной последовательности).
Пусть {xn}
сходится и
xn=а,
и пусть
В
такое, что
n,
n=1, 2, … : xn
В
(
А
:
xn
А).
Тогда
а
В
(соответственно, А
а).
Доказательство.
-
Рассмотрим произвольную последовательность {xn}, а=
xn
и пусть
В
n,
n=1, 2, … : xn
В.
Предположим противное: а>В.
Так как
xn=а
>0,
а значит и для
=а-В>0,
N
n>N:
│xn
- а│<а-В
-а+В+а<xn<а-В+а
В<xn<2а-В
Мы
пришли к противоречию с тем, что
:
xn
В.
-
Рассмотрим произвольную последовательность {xn}, а=
xn,
для которой существует А такое, что
:
xn
А
-xn
-А
Тогда для
последовательности {-xn}
выполняется
(-xn)=
-а и для каждого n, n=1, 2, … : -xn
-А.
Согласно п. I
-а
-А
.
Замечание.
Если
в условиях теоремы 1 неравенство строгое,
то в утверждении теоремы 1 следует
сохранить
нестрогие неравенства а
В
(соответственно, а
А).
Пример.
{xn}={
}.
n:
>0
Но
=0.
Пусть {xn}
такова, что
:
А
xn
В
и
xn=а.
Тогда А
а
В.
Указанное свойство отрезка [А, В] называется свойством замкнутости, то есть если на отрезке располагается сходящаяся последовательность, то отрезок не выпустит за свои границы предел этой последовательности.
Интервал (А, В) таким свойством не обладает.
Следствие 2.
Если
последовательности {xn}
и {yn}
сходятся, причём
xn=а,
yn=b
и
,
n=1, 2, …: xn
yn,
то а
b.
Доказательство.
Рассмотрим
{yn-xn}.
:
yn-xn
0.
Согласно теореме 3 §2
(yn-xn)=b-а,
а согласно теореме 1 §4 b-а
0
а
b.
Теорема 2. (о трёх последовательностях)
Пусть
{xn},
{yn}
и {zn}
таковы, что: 1)
:
xn
zn
yn
2)
xn=
yn=а
Тогда {zn}
сходится и
zn=а.
Доказательство.
xn=а
0
N1
>N1:
│xn
- а│<
а-
<xn<а+
yn=а
>0
N2
>N2:
│yn
- а│<
а-
yn<а+
Возьмём
произвольной
0
и положим N=max{N1,
N2}.
Тогда
>N:
>N:
а-
<xn
zn
yn<а+
а-
<
zn<а+
Следовательно,
>N:
│zn
- а│<
zn
=а.