- •Глава I. Действительные числа.
- •§1. Введение.
- •§2. Множества.
- •§3. Понятие множества действительных чисел.
- •§4. Отображения множеств.
- •Глава 2. Числовые последовательности.
- •§1. Понятие числовой последовательности.
- •§2. Бесконечно малые последовательности.
- •§3. Свойства сходящихся последовательностей.
- •Глава 3. Некоторые сведения из математической логики.
- •§1. Предложение.
- •§2. Предикаты.
- •§3. Кванторы.
- •§4. Предельный переход в неравенствах. (Глава 2)
- •§5. Бесконечно большие последовательности.
- •§6. Частичные последовательности (подпоследовательности).
- •§7. Монотонные последовательности.
- •§8. Теорема о вложенных отрезках.
- •§9. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
- •§10. Критерий Коши сходимости числовой последовательности.
- •§11. Число .
- •Глава 3. Функции.
- •§1. Понятие числовой функции числового аргумента.
- •§2. Предел функции в точке.
- •§3. Арифметические свойства пределов функций.
- •§4. Предельный переход в неравенствах.
- •§5. Односторонние пределы функции в точке. (пределы слева и справа)
- •§6. Пределы функций на бесконечности.
- •§7. Функции, стремящиеся к бесконечности. (Бесконечно большие функции.)
- •§8. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций.
- •§9. Специальные пределы функций.
- •Глава 4. Непрерывность функции.
- •§1. Определение непрерывной функции.
- •§2. Классификация точек разрыва функции.
- •§3. Простейшие свойства непрерывных функций.
- •§4. Некоторые свойства непрерывных функций на промежутке.
- •§5. Условия непрерывности монотонной функции. Обратная функция. Непрерывность обратной функции.
- •Глава 5. Производная функции.
- •§1. Понятие производной функции.
- •§2. Свойства производной функции.
- •§3. Производная обратной функции.
- •§4. Таблица производных.
- •Глава 6. Дифференцируемая функция. Дифференциал.
- •§1. Понятие дифференцируемой функции в точке и дифференциала.
- •§2. Некоторые свойства дифференциала функции в точке.
§3. Свойства сходящихся последовательностей.
Теорема 1.
Любая сходящаяся последовательность имеет единственный предел.
Доказательство. (от противного)
Пусть существует {xn}, такая сходящаяся последовательность, для которой существуют два числа а и b, а<b , такие что
а=xn, b=xn, b>a.
так как a<b, то существуют непересекающиеся окрестности точек а и b.
Возьмём =(b-а)>0.
а=xn для каждого >0, а значит и для =(b-а)>0 существует номер N1 такой, что для любого n> N1: │ xn-а│<(b-а).
b=xn для каждого >0, а значит и для =(b-а)>0 существует номер N2 такой, что для любого номера n>N2: │xn-b│<(b-а).
Тогда для любого n>N=max{N1, N2} выполняются оба неравенства:
b- xn<a+ b- a+ b-a<2=(b-а), что невозможно.
Мы пришли к противоречию.
Теорема 2.
Любая сходящаяся последовательность ограничена. Обратное неверно.
Доказательство.
I. Пусть {xn} сходится. Докажем, что она ограничена.
{xn} сходится существует число а такое, что для каждого >0, а значит и для =1>0 существует номер N=N(1) такой, что для любого номера n>N:
│ xn-а│<=1 а-1< xn<а+1 xn(а-1, а+1)
Положим А=min{x1, x2, …, xN, a-1}
B=max{ x1, x2, …, xN, a+1}
Тогда для любого n, n=1, 2, …: АВ.
II. Обратное неверно.
Рассмотрим последовательность 0, 1, 0, 1, …
Она ограничена числами 0 и 1.
Докажем, что она расходится. Для этого заметим, что если {xn} сходится, то (xn+1- xn)=0. Действительно, возьмём произвольное >0 и зафиксируем его.
{xn} сходится существует а такое, что для каждого >0, а значит и для нашего фиксированного >0 существует номер N такой, что для любого номера
n>N: │xn-а│< а-< xn<а+
n+1>N: │xn+1-а│< а-< xn+1<а+
Тогда │xn+1- xn│=│xn+1-а- xn+а│<= (xn+1- xn)=0.
Вернёмся теперь к последовательности 0, 1, 0, 1, …
n, n=1, 2, …: │xn+1- xn│=1 0, следовательно {xn} расходится.
Арифметические свойства сходящихся последовательностей.
Теорема 3.
Пусть {xn} и {yn} две сходящиеся последовательности.
xn=а, yn=b.
Тогда {xn+ yn } сходится и её предел равен а+b.
Доказательство.
xn=а для любого n: xn=а+n, где {n} - б.м.
yn=b для любого n: yn=b+n, где {n} – б.м.
Тогда {xn+yn } сходится, т.к. n, n=1, 2, …: xn+yn=(а+n)+(b+n)=а+b+(n+n),
{n+n } – б.м., как сумма двух бесконечно малых последовательностей {n} и{n}.
Согласно лемме 2 §2 (xn+yn)=а+b
Теорема 4.
Пусть {xn} и {yn} две сходящиеся последовательности, xn=а, yn=b.
Тогда {xnyn} сходится и её предел равен а∙b.
Доказательство.
xn=а для каждого n: xn=а+n, где {n} – б.м.
yn=b для любого n: yn=b+n, где {n} – б.м.
Тогда для любого n:
xn yn=(а+n)∙(b+n)=аb+аn+bn+nn
Последовательности {n} и {n} бесконечно малые по лемме 1 §2, {nn} – б.м., как произведение ограниченной на бесконечно малую по теореме 1§2 xnyn=а∙b.
Теорема 5.
Пусть {xn} и {yn} две сходящиеся последовательности, xn=а, yn=b, b0.
Тогда {} сходится и её предел равен .
Доказательство.
I. Пусть yn=b, b.
Тогда последовательность {}: 1) имеет смысл
2) сходится
3) её предел равен
1) {} имеет смысл, то есть существует номер nо такой, что для любого nо: yn, то есть {} определена.
В самом деле, т.к. yn=b для каждого 0, а значит и для >0, существует номер N такой, что для любого номера n>N
│yn-b│< b-<yn<b+
Пусть b>0. │b│=b.
Тогда 0<b- ∙b=<yn<∙b (*)
Пусть b<0. │b│= - b.
Тогда ∙b< yn<∙b<0 (**).
Тогда для любого nN+1: yn и {} опеределена.
2) Покажем, что {} ограничена.
Для любого n>N: либо 0<<yn ││< ,
либо yn< <0 ││< {} ограничена.
3) Докажем, что {} сходится и её предел равен .
Так как yn=b для любого n: yn=b+n, где {n} – б.м.
Пусть nо: = = (b - yn) = n .
{n } по лемме 3 §2 б.м., ибо {b- yn }={-n } – б.м.
А тогда = + - = +n , {n } б.м. и согласно теореме 1§2, = .
II. Докажем теперь, что{xn∙}= {} сходится.
xn=а, = .
Тогда по теореме 3 {} сходится и её предел равен .
Теорема 6.
Пусть {xn} сходится и xn=а.
Тогда {│xn│} сходится и │xn│=│а│.
Доказательство.
xn=а для каждого >0 существует номер N такой, что для любого номера n>N: │xn - а│<.
Возьмём произвольное >0, фиксируем его. Тогда
n>N: ││xn│ - │а││ │xn - а│< │xn│=│а│.