- •Глава I. Действительные числа.
- •§1. Введение.
- •§2. Множества.
- •§3. Понятие множества действительных чисел.
- •§4. Отображения множеств.
- •Глава 2. Числовые последовательности.
- •§1. Понятие числовой последовательности.
- •§2. Бесконечно малые последовательности.
- •§3. Свойства сходящихся последовательностей.
- •Глава 3. Некоторые сведения из математической логики.
- •§1. Предложение.
- •§2. Предикаты.
- •§3. Кванторы.
- •§4. Предельный переход в неравенствах. (Глава 2)
- •§5. Бесконечно большие последовательности.
- •§6. Частичные последовательности (подпоследовательности).
- •§7. Монотонные последовательности.
- •§8. Теорема о вложенных отрезках.
- •§9. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
- •§10. Критерий Коши сходимости числовой последовательности.
- •§11. Число .
- •Глава 3. Функции.
- •§1. Понятие числовой функции числового аргумента.
- •§2. Предел функции в точке.
- •§3. Арифметические свойства пределов функций.
- •§4. Предельный переход в неравенствах.
- •§5. Односторонние пределы функции в точке. (пределы слева и справа)
- •§6. Пределы функций на бесконечности.
- •§7. Функции, стремящиеся к бесконечности. (Бесконечно большие функции.)
- •§8. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций.
- •§9. Специальные пределы функций.
- •Глава 4. Непрерывность функции.
- •§1. Определение непрерывной функции.
- •§2. Классификация точек разрыва функции.
- •§3. Простейшие свойства непрерывных функций.
- •§4. Некоторые свойства непрерывных функций на промежутке.
- •§5. Условия непрерывности монотонной функции. Обратная функция. Непрерывность обратной функции.
- •Глава 5. Производная функции.
- •§1. Понятие производной функции.
- •§2. Свойства производной функции.
- •§3. Производная обратной функции.
- •§4. Таблица производных.
- •Глава 6. Дифференцируемая функция. Дифференциал.
- •§1. Понятие дифференцируемой функции в точке и дифференциала.
- •§2. Некоторые свойства дифференциала функции в точке.
Глава 2. Числовые последовательности.
§1. Понятие числовой последовательности.
Рассмотрим произвольное число a (а – фиксировано) и произвольное число r, r>0.
Определение.
r- окрестностью или окрестностью точки а радиуса r называется множество (а- r, а+ r), где
(а- r, а+ r)={x; x: <r}={ x; x: a-r<x<a+r}
Что такое последовательность?
-
1, 1, 1, …, 1, …
-
1, 2, 3, …, n, …
-
-1, -2, -3, …, -n, …
-
0, 1, -1, 2, -2, …, k, -k, …
-
0, 1, 0, 1, …
-
1, , , …, , …
-
, 0, , 0, , 0, …, , 0 , , …
-
1, 0, 2, …, 0, k, 0, …
-
, , , , …, , , …
-
, , , …, , …
Определение.
Говорят, что задана числовая последовательность, если указан закон, согласно которому каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число xn.
Замечание.
Иногда полезно бывает допустить n=0, в других случаях целесообразно считать, что n принимает все положительные целые значения, начиная с nо, то есть n=nо, nо+1, nо+2, …, nо - целое, nо>0.
Будем обозначать последовательность
{x1, x2, …, xn, …}={ xn}
{ xn} или { xn}
Определение.
Числовая последовательность (1) называется ограниченной сверху (снизу), если существует число В такое, что для любого n (n=1, 2, …): xnВ (соответственно существует число А такое, что для любого n (n=1, 2, …): xnА).
Определение.
Последовательность (1) называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу.
Определение.
Числовая последовательность (1) называется возрастающей (убывающей), если для любого n, n=1, 2, … : xnxn+1 (соответственно xnxn+1)
Определение.
Числовая последовательность (1) называется монотонной, если она либо возрастающая, либо убывающая.
Определение.
Последовательность (1) называется строго возрастающей (строго убывающей), если для любого n (n=1, 2, …): xn<xn+1 (соответственно xn>xn+1).
Общее название для строго возрастающей и строго убывающей последовательностей – строго монотонные.
Определение.
Число а называется пределом последовательности (1), если для каждого положительного числа >0) существует натуральное число (номер) N такое, что для любого номера n>N:
│xn-a│или -< xn-а< а-< xn< xn(а-, а+)
(а где расположены x1, x2, …, xN?)
Предел последовательности (1) обозначается: а=xn.
Определение.
Числовая последовательность называется сходящейся, если она имеет предел, то есть если существует число а такое, что а=xn существует а такое, что для каждого >0 существует номер N такой, что для каждого номера n>N: │xn-a│.
Определение.
Последовательность (1) {xn } называется расходящейся, если она не имеет предела; если какое бы число а не взять существует о (о>0) такое, что для каждого номера N существует номер nо>N такой, что │xno-a│о.
§2. Бесконечно малые последовательности.
Среди всех сходящихся последовательностей особую роль играют последовательности, сходящиеся к нулю, то есть такие, что 0=xn.
Определение.
0=xn для каждого >0 существует номер N такой, что для каждого номера n>N: │xn│< xn(-, ).
Определение.
Последовательность, сходящаяся к нулю, называется бесконечно малой (б.м.).
Пример.
{1, , , …, , …}={ }
Докажем, что .
Возьмём произвольное >0 и зафиксируем его. Ищем N такое, что для любого номера n>N: <.
Положим N=+1.
Возьмём произвольный номер n>N=+1 n> <. Что и требовалось доказать.
Задача 1.
Пусть q – произвольной действительное число, │q│<1.
Рассмотрим последовательность {1, q, q2, …, qn, …}={qn}
Доказать, что qn=0.
Задача 2.
Доказать, что любая бесконечная десятичная дробь является пределом последовательности своих десятичных приближений.
Теорема 1.
Для того, чтобы последовательность (1) { xn} сходилась к числу а необходимо и достаточно, чтобы для любого номера n, n=1, 2, …: xn=а+n, где последовательность {n} б.м.
Доказательство.
-
Необходимость.
Пусть а=xn. Рассмотрим последовательность {n}={ xn-а}.
аxn для каждого >0 существует номер N такой, что для любого номера n>N: │xn-а│< │n│< 0=n.
-
Достаточность.
Пусть дана последовательность { xn} и для каждого n, n=1, 2, … : xn=а+n, где {n} – б.м.
Докажем, что а=xn.
{n} – б.м. для каждого >0 существует номер N такой, что для каждого номера n>N: │n│< │n│=│xn-а│< а=xn.
Свойства бесконечно малых последовательностей.
I Лемма 1.
Пусть {n} б.м. Тогда для любого числа А: {n} – б.м.
Доказательство.
-
А=0. Тогда для любого n, n=1, 2, …: Аn=0n=0 {n} – б.м.
-
{n} - б.м. для каждого >0, а значит для >0 существует номер N такой, что для любого номера n>N:
│n│< │А│∙│n│=│Аn│< 0=n {n} б.м.
II Лемма 2.
Сумма двух бесконечно малых последовательностей бесконечно мала.
Доказательство.
Пусть заданы две б.м. последовательности {n} и {n}. Рассмотрим последовательность {n+n } и докажем, что она б.м.
{n} – б.м. для каждого >0, а значит и для >0 существует номер N1 такой, что для любого номера n>N1: │n│<
{n} – б.м. для каждого >0, а значит и для >0 существует номер N2 такой, что для любого номера n>N2: │n │<.
Тогда n>N=max{N1, N2}: │n+n││n │+│n │<= n+n)=0
III Лемма 3.
Произведение б.м. последовательности на ограниченную последовательность – б.м.
Доказательство.
Пусть {n} – б.м., {n} ограничена. Докажем, что {n} – б.м.
Так как {n} ограниченасуществует M>0 такое, что для любого n, n=1, 2, …: │n│M.
Если положить А= -M, а В=M, то для любого n: АnВ
n=0 для каждого >0, >0 существует номер N такой, что для любого номера n>N: │n│<.
Тогда для любого номера n>N: │n∙n│=│n│∙│n│<∙M=.