- •Глава I. Действительные числа.
- •§1. Введение.
- •§2. Множества.
- •§3. Понятие множества действительных чисел.
- •§4. Отображения множеств.
- •Глава 2. Числовые последовательности.
- •§1. Понятие числовой последовательности.
- •§2. Бесконечно малые последовательности.
- •§3. Свойства сходящихся последовательностей.
- •Глава 3. Некоторые сведения из математической логики.
- •§1. Предложение.
- •§2. Предикаты.
- •§3. Кванторы.
- •§4. Предельный переход в неравенствах. (Глава 2)
- •§5. Бесконечно большие последовательности.
- •§6. Частичные последовательности (подпоследовательности).
- •§7. Монотонные последовательности.
- •§8. Теорема о вложенных отрезках.
- •§9. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
- •§10. Критерий Коши сходимости числовой последовательности.
- •§11. Число .
- •Глава 3. Функции.
- •§1. Понятие числовой функции числового аргумента.
- •§2. Предел функции в точке.
- •§3. Арифметические свойства пределов функций.
- •§4. Предельный переход в неравенствах.
- •§5. Односторонние пределы функции в точке. (пределы слева и справа)
- •§6. Пределы функций на бесконечности.
- •§7. Функции, стремящиеся к бесконечности. (Бесконечно большие функции.)
- •§8. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций.
- •§9. Специальные пределы функций.
- •Глава 4. Непрерывность функции.
- •§1. Определение непрерывной функции.
- •§2. Классификация точек разрыва функции.
- •§3. Простейшие свойства непрерывных функций.
- •§4. Некоторые свойства непрерывных функций на промежутке.
- •§5. Условия непрерывности монотонной функции. Обратная функция. Непрерывность обратной функции.
- •Глава 5. Производная функции.
- •§1. Понятие производной функции.
- •§2. Свойства производной функции.
- •§3. Производная обратной функции.
- •§4. Таблица производных.
- •Глава 6. Дифференцируемая функция. Дифференциал.
- •§1. Понятие дифференцируемой функции в точке и дифференциала.
- •§2. Некоторые свойства дифференциала функции в точке.
Глава 5. Производная функции.
§1. Понятие производной функции.
Пусть f(x) имеет стандартную область определения X, xо – внутренняя точка одного из промежутков X.Сместимся из точки xо в точку x= xо+∆x так, чтобы не покинуть X
x= xо+∆xX.
Тогда f(x) получает приращение ∆f(xо, ∆x) в точке xо, вызванное смещением ∆x.
∆f=∆f(xо, ∆x)= f(xо +∆x) –f(xо)= f(x) – f(xо).
Пусть ∆x0. Рассмотрим =
Определение.
Предел , если он существует, называется производной функции f(x) в точке xо и обозначается:
f`(xо)===(xxо).
Теорема 1.
Пусть f(x) имеет в точке xX производную.
Тогда f(x) непрерывна в точке x.
Доказательство.
-
xX: 2.-3. Так как = f`(x) = f`(x)+(∆x), где (∆x)=0. f(x+∆x) – f(x)= f`(x)·∆x+(∆x)· ∆x (f(x+∆x) – f(x))=0 f(x+∆x)= f(x) f(x) непрерывна в точке xX.
§2. Свойства производной функции.
Пусть функции f(x) и g(x) имеют общую стандартную область определения X, и во внутренней точке x одного из промежутков X, xX f`(x) и g`(x).
Тогда
(1).
xX, f`(x), g`(x) по условию, ∆x0, x+∆xX
∆(f(x)+ g(x))=(f(x+∆x)+g(x+∆x)) – (f(x)+g(x))=(f(x+∆x) – f(x))+(g(x+∆x) – g(x))=∆f(x; ∆x)+∆g(x; ∆x)
(f(x)+ g(x))`==(+)= f`(x)+ g`(x).
(2).
∆(f·g)=f(x+∆x)·g(x+∆x) – f(x)·g(x)=f(x+∆x)·g(x+∆x) – f(x)·g(x+∆x)+f(x)·g(x+∆x) –f(x)·g(x)=(f(x+∆x) –f(x))g(x+∆x)+f(x)(g(x+∆x) –g(x)).
Так как (x)= =(x)+(∆x) g(x+∆x) =g(x)+(x)·∆x+(∆x)·∆x g(x+∆x)=g(x) g(x) непрерывна в точке x.
А значит, =(·g(x+∆x)+f(x)·)= f`(x)· g(x)+ f(x)·g`(x).
(3). Пусть g(x)0, и по теореме о сохранении знака непрерывной функции >0 ∆x: x+∆x(x –, x+)X: g(x+∆x)0.
Тогда ∆x, x+∆x(x –, x+)X:
∆= – =.
Возьмём ∆x0 и рассмотрим
=
f`(x)= f(x+∆x)= f(x)+ f`(x)·∆x+(∆x)·∆x, где (∆x)=0 =(f`(x)g(x) – f(x)g`(x)).
(3).
(4). F(x)=f((x)). xX, x+∆xX.
∆F=F(x+∆x) –F(x)=f((x+∆x)) –f((x)).
f: ZY, YR, f(z) имеет производную во внутренней точке zZ.
: X, Z, (x) имеет производную во внутренней точке xX.
Тогда
Доказательство.
Возьмём произвольную внутреннюю точку xX и сместимся из неё в точку x+∆xX, ∆x0 ∆=∆(x; ∆x)=(x+∆x)(x)=∆z f(z)получит приращение ∆f(z; ∆z)=f(z+∆z)f(z)=f´(z)·∆z+(∆z)·∆z (∆z)=0, ибо f´(z) f´(z)((x+∆x)(x))+(∆z)·∆z.
Делим на ∆x0.
===f´(z)+(∆z) = f´(z)´(x)+0= f´(z)´(x) .
§3. Производная обратной функции.
Теорема.
Пусть функции f: XY и g=f-1: YX взаимно обратны и непрерывны в точках xоX и yоY соответственно; yо=f(xо). Если f(x) имеет в точке xо производную и f´(xо)0, то g(x) так же имеет производную в точке yо= f(xо) и .
Доказательство.
Так как f(x) и g(x) взаимно обратны, то f(x)f(xо) и g(y) g(yо) при y=f(x) не обращаются в нуль, если xxо, yо= f(xо).
Из непрерывности f(x) в точке xо и g(y) в точке yо следует, что (x xо)(y yо).
Используя теорему о пределе сложной функции и арифметические свойства пределов функции, при ∆x0, ∆y0 получаем ====.
Пример.
f(x)=, X=.
X=g(y)=arcsin y, y
x y=sin x(1, 1).
Применяя теорему о производной обратной функции, получаем
(arcsin y)´====.
§4. Таблица производных.
-
f(x)=, X
Возьмём внутреннюю точку X, сместимся из неё в точку x+∆x, не покидая X, x+∆xX и пусть ∆x0.
По определению f´(x)=.
Пусть x0.
f(x+∆x)f(x)==·=· ·∆x f´(x)===·.
.
Пусть x=0, >1 =∆x.
==0
=1.
<0 (либо точка x=0 не является внутренней, либо нет производной).
-
f(x)=, a>0, a1, X=(, +)
xX, ∆x0, x+∆xX.
а) f(x)=
===.
б) f(x)==.
Применяя теорему о производной сложной функции, получаем ()´=()´=.
-
f(x)=, X=(0, +), xX, ∆x0, x+∆xX.
===.
f(x)=, a>0, a1, X=(0, +).
=
-
f(x)=, X=(, +), ∆x0, x+∆xX.
=====.
-
f(x)=, X=(, +)
=====
-
f(x)=tg x=
(tg x)´===
-
f(x) =ctg x==
-
y= f(x)=, X=, Y=[1, 1]
Применяя теорему о производной обратной функции, получаем
()´====, x(, ) y(1, 1)
-
x=arcos y=, y(1, 1)
-
x=arctg y, Y=(, +)
tg x=y (arctg y)´====
-
x=arcctg y, Y=(, +)
(arcctg y)´====