- •Глава I. Действительные числа.
- •§1. Введение.
- •§2. Множества.
- •§3. Понятие множества действительных чисел.
- •§4. Отображения множеств.
- •Глава 2. Числовые последовательности.
- •§1. Понятие числовой последовательности.
- •§2. Бесконечно малые последовательности.
- •§3. Свойства сходящихся последовательностей.
- •Глава 3. Некоторые сведения из математической логики.
- •§1. Предложение.
- •§2. Предикаты.
- •§3. Кванторы.
- •§4. Предельный переход в неравенствах. (Глава 2)
- •§5. Бесконечно большие последовательности.
- •§6. Частичные последовательности (подпоследовательности).
- •§7. Монотонные последовательности.
- •§8. Теорема о вложенных отрезках.
- •§9. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
- •§10. Критерий Коши сходимости числовой последовательности.
- •§11. Число .
- •Глава 3. Функции.
- •§1. Понятие числовой функции числового аргумента.
- •§2. Предел функции в точке.
- •§3. Арифметические свойства пределов функций.
- •§4. Предельный переход в неравенствах.
- •§5. Односторонние пределы функции в точке. (пределы слева и справа)
- •§6. Пределы функций на бесконечности.
- •§7. Функции, стремящиеся к бесконечности. (Бесконечно большие функции.)
- •§8. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций.
- •§9. Специальные пределы функций.
- •Глава 4. Непрерывность функции.
- •§1. Определение непрерывной функции.
- •§2. Классификация точек разрыва функции.
- •§3. Простейшие свойства непрерывных функций.
- •§4. Некоторые свойства непрерывных функций на промежутке.
- •§5. Условия непрерывности монотонной функции. Обратная функция. Непрерывность обратной функции.
- •Глава 5. Производная функции.
- •§1. Понятие производной функции.
- •§2. Свойства производной функции.
- •§3. Производная обратной функции.
- •§4. Таблица производных.
- •Глава 6. Дифференцируемая функция. Дифференциал.
- •§1. Понятие дифференцируемой функции в точке и дифференциала.
- •§2. Некоторые свойства дифференциала функции в точке.
§3. Понятие множества действительных чисел.
Определение (аксиоматическое).
Непустое множество ={x} элементов x произвольной природы называется множеством действительных чисел, если выполняются следующие условия:
I На множестве введена операция сложения элементов, т.е. указан закон, согласно которому каждой упорядоченной паре элементов x, y из поставлен в соответствие элемент из обозначаемый x+y и называемый суммой элементов x и y так, что выполняются следующие (аксиомы сложения) условия:
(1)I В существует единственный нейтральный элемент (называемый нулём при сложении) такой, что для любого x выполнено:
x+=+x=x
(2)I Для каждого x существует единственный элемент из , называемый противоположным элементу x, обозначаемый (-x) и такой, что
x+(-x)=(-x)+x=
(3)I Для любых x, y, z
x+(y+z)=(x+y)+z (ассоциативность)
(4)I Для любых x, y из
x+y=y+x (коммутативность)
II На множестве введена операция умножения элементов, т.е. указан закон, согласовано которому каждой упорядоченной паре элементов x, y из поставлен в соответствие элемент из называемый произведением x на y и обозначаемый xy так, что выполнены следующие условия (аксиомы умножения):
(1)II В существует единственный нейтральный элемент (единица при умножении) обозначаемый 1 такой, что для любого x:
x·1=1·x=x
(2)II Для любого x{ } существует единственный элемент из , называемый обратным к x и обозначаемый x-1 такой, что:
x· x-1= x-1·x=1
(3)II Для любых x, y, z из :
x·(y·z)=(x·y)·z (ассоциативность)
(4)II Для любых x, y, z из :
x·y=y·x (коммутативность)
(I, II) – Связь между сложением и умножением.
В для любых x, y, z:
(x+y)·z=x·z+y·z (дистрибутивность)
III На задано отношение порядка, т.е. для любых двух элементов x, y установлено: выполняется или нет x (x меньше или равно ).
При этом отношение удовлетворяет следующим аксиомам порядка:
(1)III Для любого x из :
x (рефлексивность)
(2)III Если для двух x и y: xy и yx, то x=y (x есть y)
(3)III Если для x, y, z выполнено:
xy и yz, то xz (транзитивность)
(4)III Для любых x, y, z, если xy, то
x+zy+z
(5)III Для любых x, y из , либо xy, либо yx (либо и то и другое)
(6)III Для x, y, если 0x, 0y, то 0xy
Замечание.
-
По определению x означает, что yx.
-
Как следствие получаем, что для любых x, y имеет место одно и только одно из соотношений:
xy, x=y, xy.
IV Аксиома Архимеда.
Для любого элемента с, удовлетворяющего условию 0с; существует натуральное число n>с.
V Аксиома полноты (непрерывности).
Для любых двух непустых множеств X={x} и Y={y}, X , Y, удовлетворяющих условию: для любых x, y xy, существует элемент с такой, что для любого x и любого y: x, сy, т.е. xy.
Определение.
Каждый элемент множества называется действительным числом.
Приведённая система аксиом непротиворечива, т.к. существуют множества, удовлетворяющие I – V.
Например.
Десятичная форма числа, двоичная форма числа.
Замечание.
Единственность нейтральных элементов по сложению и умножению, а также противоположного и обратного элемента может быть выведена из аксиом и их единственность можно не требовать заранее.
Определение.
Непустое множество G, удовлетворяющее I: (1)I - (3)I называется аддитивной или абелевой4 группой.
Определение.
Непустое множество , удовлетворяющее условиям I(1-4), II(1-4), (I, II) называется полем.
Определение.
Непустое множество , удовлетворяющее условиям называется линейно упорядоченным полем.
Определение.
Непустое множество, удовлетворяющее условиям I, II, III, IV называется архимедовым полем.
Определение.
Действительные числа 1, 1+1=2, 2+1=3, … называются натуральными числами.
Множество всех натуральных чисел содержит 1 и вместе с каждым n содержит n+1.
Определение.
Все натуральные числа, все им противоположные и нуль образуют множество всех целых чисел.
Определение.
Число вида p·q-1= p·где q, p называется рациональным числом.
Множество всех рациональных чисел обозначается .
Определение.
Каждое действительное число, не являющееся рациональным, называется иррациональным.