§4. Предельный переход в неравенствах.

Теорема 1.

Пусть f(х) имеет стандартную область определения Х, точка х_о лежит внутри или является концом одного из промежутков, образующих Х, и пусть f(х)= L.

Если число В (число А) и если окрестность (х_о х_о+) точки х_о такая, что х{(х_о, х_о)}{( х_о, х_о+)}Х: f(х)В (соответственно, f(х)А), то и LВ (соответственно, LА).

Следствие.

Если хХ: Аf(х)В и L=f(х), то АLВ.

Теорема 2.

Пусть функции f(х), g(х), h(х) имеют стандартную область определения Х, х_о лежит внутри или является концом одного из промежутков, образующих Х.

Если - окрестность (х_о х_о+) точки х_о (>0) такая, что х{(х_о, х_о)}{( х_о, х_о+)}Х: f(х) h(х) g(х) и f(х)= g(х)=L, то h(х)=L.

Теорема 3.

Пусть f₁(х) и f₂(х) имеют стандартную область определения Х, х_о лежит внутри или является концом одного из промежутков, образующих Х, и пусть L₁=f₁(х), L₂=f₂(х), и - окрестность точки х_о (х_о х_о+) такая, чтох{(х_о, х_о)}{( х_о, х_о+)}Х: f₁(х)f₂(х), то L₁ L₂.

Теоремы 1, 2, 3 доказываются применением теорем главы 2 о предельном переходе в неравенствах для последовательностей значений заданных функций.

Докажем теорему 2.

f(х)=g(х)=L.

Возьмём произвольную последовательность {х_n} типа Гейне n: х_nХ, n: х_n х_о, х_n= х_о.

Так как х_n= х_о >0 _о n>_о: │х_n - х_о│< n>_о: х_n(х_о х_о+) и, следовательно, по условию f(х_n) h(х_n) g(х_n).

А так как f(х_n)=g(х_n)=L h(х_n)=L (по теореме о „жулике”).

Последовательность {х_n} типа Гейне была выбрана произвольной, то по определению предела функции в точке в смысле Гейне h(х)=L.

§5. Односторонние пределы функции в точке. (пределы слева и справа)

Определение.

Пусть функция f(х) имеет стандартную область определения Х, точка х_о лежит внутри или является правым (левым) концом одного из промежутков, образующих Х.

Говорят, что f(х) имеет в точке х_о предел слева (справа) равный L и пишут f(х)=L (соответственно, f(х)=L), если

(Г)₁ {х_n} : (К)₁ 0 >0 х

(хХ, х_n<х_о (соотв. х_n>х_о), │x - х_о│<):

f(х_n)=L │f(х)- L│<

Так же, как и для обычных пределов (Г)₁ и (К)₁ эквивалентны.

Односторонние пределы обладают такими же простейшими арифметическими свойствами - свойствами, связанными с неравенствами, что и обычные пределы (во всех случаях в доказательстве надо заменит х_n х_о неравенствами х_n< х_о (х_n>х_о) или х< х_о (соответственно х>х_о)

Теорема.

Пусть f(х) имеет стандартную область определения Х и точка х_о лежит внутри или является концом одновременно двух смежных промежутков из Х, и пусть в точке х_о f(х) имеет равные односторонние пределы: f(х)=f(х)=L (1).

Тогда в точке х_о f(х) имеет предел, и он равен L.

Доказательство.

Докажем, что f(х)=L.

Из (1) следует, что 0 ₁>0 х (хХ, х< х_о, │x - х_о│<₁): │f(х)- L│< (2).

Из (1) следует, что 0 ₂>0 х (хХ, х>х_о, │x - х_о│<₂): │f(х)- L│< (3).

Возьмём произвольное 0 и зафиксируем его.

Положим =min{₁, ₂}>0.

Тогда х (хХ, х х_о, │x - х_о│<): │f(х)- L│<, так как х х_о, то либо х< х_о и тогда справедливо (2), либо х>х_о и тогда справедливо (3).