§10. Критерий Коши сходимости числовой последовательности.

Теорема.

Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда она удовлетворяет следующему условию Коши:

0 N=N() n>N m>N: │x_n - х_m│< или

0 N=N() n>N и p – натурального: │x_n+p - х_n│<.

Доказательство.

1.Необходимость.

{x_n} сходится а 0 N n>N: │x_n - а│<.

Возьмём произвольное 0, зафиксируем его и проверим выполнение условия Коши.

{x_n} сходится а 0, а значит и для нашего фиксированного >0, N n>N: │x_n - а│<.

Возьмём произвольные n>N и m>N и рассмотрим │x_n - х_m│=│x_n -а+а - х_m││x_n - а│+│x_m - а│<+= , т.е. условие Коши выполнено.

2.Достаточность.

Пусть {x_n} удовлетворяет условию Коши 0 n>N, : │x_n - х_m│<.

Докажем, что {x_n} сходится.

{x_n} удовлетворяет условию Коши 0, а значит и для =1>0 N=N() n>N и m>N: │x_n - х_m│<.

Пусть m=N+1>N: │x_n - х_N+1│<1 n>N: x_N+1 -1<x_n<x_N+1+1 n>N+1: x_n( x_N+1 -1, x_N+1+1).

Вне этого интервала могут находится х₁, х₂, …, х_N.

Пусть А=min{х₁, х₂, …, х_N, x_N+1 -1}

B=max{х₁, х₂, …, х_N, x_N+1+1}

Тогда n, n=1, 2, …: x_n[А, В] {x_n} – ограничена, а тогда по теореме Больцано-Вейерштрасса (§9) из {x_n} можно выделить сходящуюся подпоследовательность {x_nk}.

{x_nk} сходится а: а=x_nk.

Докажем, что а= x_n.

По условию Коши, 0, >0, N n>N m>N: │x_n - х_m│<.

Положим m=n_kk>N. Тогда x_nk - < x_n< x_nk+.

Устремим k+. Тогда по теореме 1 §4 (предельный переход в неравенствах для одной последовательности) получаем а- x_nа+ │x_n - а│ < │x_n - а│< а= x_n.

Определение.

Последовательность {x_n}, удовлетворяющая условию Коши, называется фундаментальной.

Из критерия Коши следует, что числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.

§11. Число .

Рассмотрим последовательность {(1+)ⁿ}.

Обозначим элемент этой последовательности y_n=(1+)ⁿ.

Докажем, что {y_n} сходится. Для этого покажем, что она возрастает и ограничена сверху.

Используем формулу Бинома-Ньютона:

y_n= (1+)ⁿ=1+n·+·+…+·+…+·= =1+1+(1-)+…+(1-)(1-)…(1-)+…+(1-)(1-)…(1-)

y_n+1=1+1+(1-)+…+1-)…(1- )+…+1-)…( 1-)+ +(1-)… (1-)

1. {y_n} строго возрастает.

n, n=1, 2, …: y_n<y_n+1, так как каждое слагаемое увеличивалось, ибо > и, кроме того, прибавилось ещё одно положительное слагаемое (последнее).

2. {y_n} ограничено сверху.

Для доказательства заменим каждый множитель (1-) единицей, ибо kn (k-1<n).

Используя неравенство k!=1·2·3·…·k1·2·2·…·2=2^k-1, k=1, 2, …, получим

y_n<1+1+++…+<1+1+++…+<1+1+++…++…=1+=1+2=3

Итак, n: y_n<3.

Тогда по теореме о сходимости ограниченной монотонной последовательности (§7) y_n==sup {(1+)ⁿ}.

2,7182848…

Глава 3. Функции.

§1. Понятие числовой функции числового аргумента.

Определение.

Пусть Х – непустое множество. Х.

Говорят, что на множестве Х задана функция, если указан закон, согласно которому каждому элементу хХ поставлено в соответствие число y.

Обозначается функция: y=f(х); хХ.

При этом множество Х называется областью определения функции, а множество Y={y; y=f(х), хХ } называется множеством значений функции y=f(х), хХ.

Примеры.

1. Х= {1, 2, …, n, …}

y_n=f(n), n=1, 2, … - числовая последовательность. – Это функция, областью определения которой является множество всех натуральных чисел.

2. Х= {1, 2, …, n, …}

f(n)=[a_n, b_n]

3. Х= {}, - фиксированный вектор в ³, ³.

()=[] – векторная функция векторного аргумента.

g()=(, ) – числовая функция векторного аргумента.

Действия над функциями.

Пусть f₁(х) – функция, определённая на Х₁.

f₂(х) – функция, определённая на Х₂.

Тогда на Х=Х₁Х₂ определены функции:

f₁(х) f₂(х), f₁(х)· f₂(х) и определена на Х{х; хХ: f₂(х)=0}.

Простейшими множествами числовой оси 0х являются промежутки.

Определение.

Промежутком числовой оси называется любое множество вида:

1. [а, b] {х; хХ: ахb}.

отрезок

2. (а, b) {х; хХ: а<х<b}.

интервал

3. [а, b) {х; хХ: ах<b},

(а, b] {х; хХ: а<хb}.

полуинтервалы

Неограниченные множества:

4. [а, +]{х; хХ: ха},

(, b]{х; хХ: хb}.

5. (а, +){х; хХ: х>а},

(, b){х; хХ: х<b}.

6. (, +) – вся числовая ось.

Определение.

Говорят, что функция y=f(х) имеет стандартную область определения Х, если Х является промежутком ненулевой длины или объединением непересекающихся промежутков ненулевой длины.