Вариант 3
1. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляются всевозможные числа, каждое из которых содержит не менее трёх цифр. Сколько таких чисел можно составить, если повторение цифр в числах запрещено?
2. Среди 17 студентов группы, из которых 8 девушек, разыгрывается 7 пригласительных билетов. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 4 девушки?
3. В мастерской имеется три мотора. Вероятность того, что мотор работает с полной нагрузкой, равна 0,6. Найти вероятность того, что хотя бы один из трёх моторов работает с полной нагрузкой.
4. Путешественник может купить билет в одной из трёх касс железнодорожного вокзала. Вероятность того, что он направился к первой кассе, равна 0,4, ко второй 0,5, к третьей 0,1. Вероятности того, что билетов уже нет в кассах примерно такие: в первой кассе 0,2, во второй 0,3, в третьей 0,15. Путешественник обратился в одну из касс и получил билет. Определить вероятность того, что он направился к первой кассе.
5. Закон распределения случайной величины X задан таблицей:
|
хi |
2 |
1 |
1 |
3 |
5 |
7 |
|
рi |
0,15 |
0,25 |
0,1 |
0,1 |
0,2 |
0,2 |
Построить многоугольник распределения вероятностей величины X. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение данной случайной величины.
6. Найти математическое ожидание и
дисперсию случайной величины
,
если известны математические ожидания
и дисперсия случайных величин Х и
Y: МХ = 4; МY
= 1; DX = 3; DY
= 2.
7. Среднее квадратическое отклонение ошибок измерения дальности радаром равно 25 м, а систематическая ошибка отсутствует. Определить вероятность получения ошибки измерения дальности, по абсолютной величине, не превосходящей 20 м.
8. В таблице П. 3.2 (приложение 3) приведена последовательность случайных значений оцениваемого параметра. Сделайте выборку (n = 60), начиная с 11-го значения. Возьмите в качестве интервалов группировки интервалы (3; 2), (2; 1), (1; 0), (0; 1), (1; 2), (2; 3) и напишите таблицу эмпирического распределения для этих интервалов. Постройте гистограмму, полигон, эмпирическую функцию распределения. Сделайте вывод о виде закона распределения оцениваемого параметра.
9. Используя таблицу эмпирического распределения, полученную при выполнении задания 8, найдите эмпирические среднее, дисперсию и среднеквадратическое отклонение оцениваемого параметра.
10. Используя точечные оценки (эмпирического среднего и дисперсии) оцениваемого параметра, полученные при выполнении задания 9, определите доверительный интервал для математического ожидания (при неизвестном среднеквадратическом отклонении) генеральной совокупности с уровнем доверия 0,9.
Вариант 4
1. Бросают одновременно три монеты и наблюдают за выпадением герба или цифры на верхних гранях каждой монеты. Сколько различных исходов опыта возможно?
2. В корзине находятся 5 красных и 4 синих мяча. Из корзины наудачу вынимают два мяча. Какова вероятность, что они оба окажутся красными?
3. При изготовлении изделия работают последовательно трое рабочих. Качество изделия при передаче его от одного рабочего к другому не проверяется. Первый рабочий допускает брак с вероятностью 0,1, второй с вероятностью 0,2 и третий с вероятностью 0,1. Найти вероятность того, что при изготовлении изделия будет допущен брак.
4. Противник применяет самолёты пяти типов. Известно, что на данном участке фронта сосредоточено примерно равное число самолётов каждого типа. Вероятности сбить самолёт при проходе над оборонительной зоной соответственно равны для них 0,4; 0,3; 0,2; 0,5; 0,1. Самолёт противника, прорывавшийся через оборонительную зону, сбит. Чему равна вероятность того, что это самолёт второго типа?
5. Закон распределения случайной величины X задан таблицей:
|
хi |
5 |
3 |
1 |
2 |
5 |
6 |
|
рi |
0,1 |
0,25 |
0,15 |
0,15 |
0,2 |
0,15 |
Построить многоугольник распределения вероятностей величины X. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение данной случайной величины.
6. Найти математическое ожидание и
дисперсию случайной величины
,
если известны математические ожидания
и дисперсия случайных величин Х и
Y: МХ = 5; МY
= 4; DX = 1; DY
= 4.
7. Рост взрослых женщин является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Пусть математическое ожидание её равно 164 см, а дисперсия – 25 см2. Вычислить вероятность того, что хотя бы одна из двух наудачу выбранных женщин будет иметь рост от 162 до 168 см.
8. В таблице П. 3.2 (приложение 3) приведена последовательность случайных значений оцениваемого параметра. Сделайте выборку (n = 60), начиная с 16-го значения. Возьмите в качестве интервалов группировки интервалы (3; 2), (2; 1), (1; 0), (0; 1), (1; 2), (2; 3) и напишите таблицу эмпирического распределения для этих интервалов. Постройте гистограмму, полигон, эмпирическую функцию распределения. Сделайте вывод о виде закона распределения оцениваемого параметра.
9. Используя таблицу эмпирического распределения, полученную при выполнении задания 8, найдите эмпирические среднее, дисперсию и среднеквадратическое отклонение оцениваемого параметра.
10. Используя точечные оценки (эмпирического среднего и дисперсии) оцениваемого параметра, полученные при выполнении задания 9, определите доверительный интервал для математического ожидания (при неизвестном среднеквадратическом отклонении) генеральной совокупности с уровнем доверия 0,95.