3.5. Числові характеристики статистичного розподілу

Нехай по вибірці обсягу п побудований статистичний розподіл частот:

xi	x1	x2	…	xk
ni	n1	n2	…	nk

Знайдемо вибіркову середню

, (1.1)

де n=n₁+n₂+…+nk.

Вибіркова середня є середня зважена значень випадкової величини Х с вагами, рівними відповідним до частот.

Характеристикою розсіювання досвідчених значень х_i навколо свого середнього значення є вибіркова дисперсія — середня зважена квадратів відхилень значень х_i від їхнього середнього значення з вагами, рівними відповідним до частот:

. (1.2)

Вибірковим середнім квадратическим відхиленням (стандартом) називають квадратний корінь із вибіркової дисперсії:

.

На практиці для обчислення дисперсії використовують формулу, більш зручну, чому (1.2): .

, (1.3)

де - середнє квадратів значень xi, -квадрат середнього значень xi, обчисленого за формулою (1.1).

Припустимо, що всі значення випадкової величини Х розбиті на кілька груп. Розглядаючи кожну групу як самостійну сукупність, можна знайти її середню арифметичну.

Груповий середньої називають середнє арифметичне значень величини X, що належить групі.

Знаючи групові середні й обсяги груп, можна знайти загальну середню: загальна середня рівна середньої арифметичної групових середніх, зваженої по обсягах груп.

Груповою дисперсією називають дисперсію значень випадкової величини X, що належить групі, щодо групової середньої:

, (1.4)

де п_i — частота значення х_i ; j — номер групи; — групова середня j-й групи; Nj= — обсяг групи j.

Знаючи дисперсію кожної групи, можна знайти їхню середню н арифметичну.

Внутрігруповою дисперсією називають середню арифметичну групових дисперсій, зважену за обсягами груп:

, (1.5)

де Nj — обсяг j-й групи; D_jгр — групова дисперсія j-й групи — обсяг усієї сукупності; k - кількість груп.

Знаючи групові й загальну середні, можна знайти дисперсію групових, середніх щодо загальної.

Міжгруповою дисперсією називають дисперсію групових середніх щодо загальної середньої:

, (1.6)

де п = — обсяг усієї сукупності; — загальна середня; Nj - обсяг j-й групи; -групова середня j-й групи.

Якщо сукупність складається з декількох груп, то загальна дисперсія дорівнює сумі внутрігрупової та міжгрупової дисперсій:

D _заг.=D _міжгр+D _внгр.

На практиці крім числових характеристик варіаційного ряду (вибіркова середня та дисперсія) застосовуються й інші характеристики.

Модою Мо називають варіанту, яка має найбільшу частоту.

Медіаною Ме називають варіанту, яка поділяє варіаційний ряд на дві частини, рівні по числу варіант. Якщо число. варіант парне (n=2k), тоді Ме = (xk+xk₊₁)/2. Наприклад, для ряду 4, 6, 8, 10 медіана рівна (6 + 8)/2 == 7. Якщо ж число варіант непарне (п = 2k + 1), то Ме = х_k+1.

Найпростішою характеристикою розсіювання варіаційного ряду є розмах варіювання R — різниця між найбільшої й найменшої варіантами.

Для характеристики розсіювання варіаційного ряду можна використовувати величину, називану середнім абсолютним відхиленням θ і обумовлену як середнє арифметичне абсолютних відхилень:

Коефіцієнтом варіації V називають відношення вибіркового середнього квадратичного відхилення до вибіркової середньої, виражене у відсотках:

Якщо потрібно зрівняти два варіаційні ряди по величині розсіювання, то після обчислення для кожного з них коефіцієнта варіації випливає: більше розсіювання, має той ряд, у якого коефіцієнт варіації більше.

Для більш повної характеристики статистичного розподілу використовують моменти початкові та центральні, які на відміну від теоретичних моментів називають емпіричними й визначають по формулах:

- початковий емпіричний момент порядку k;

- центральний емпіричний момент порядку k.

Початковий емпіричний момент першого порядку рівний вибіркової середньої (М₁ = ); центральний емпіричний момент другого порядку дорівнює вибіркової дисперсії (m₂=D_в).

Для оцінки відхилення емпіричного розподілу від нормального використовують такі характеристики, як асиметрія й ексцес.

Асиметрія емпіричного розподілу визначається рівністю

as=m₃ /σ³_в.

Ексцес емпіричного розподілу визначається рівністю

ek=m₄ /σ⁴_в-3.