3.3. Графічне зображення статистичного розподілу

Графічне зображення статистичного розподілу дозволяє представити закономірності зміни значень випадкової величини Х у наочній формі.

Нехай маємо статистичний розподіл частот:

Варіанти хi	х1	х2	…	xk
Частоти ni	n1	n2	…	nk

Полігон будують наступним чином. По вісі абсцис відкладають інтервали значень вимірювальної величини, в середині інтервалу визначають ординату, пропорційну частотам або відносним частотам. Нанесемо точки (х₁, п₁), (х₂, п₂), ..., (х_k,, п_k) на координатну площину та з'єднаємо їх відрізками прямих; одержимо ламану, яка називається полігоном частот.

Полігоном відносних частот називають ламану, відрізки якої з'єднують точки (х₁, W₁), (х₂, W₂), ..., (х_k, Wk), де Wi = п_i/п (i=1,2, ..,k).

а)

б)

Рис.1. Полігон частот (а) та відносних часто (б)

Інтервальний статистичний розподіл графічно зображується у вигляді так званої гістограми.

Гістограмою частот називають східчасту фігуру, що складається із прямокутників, підставами яких служать інтервали довжини h, а висоти дорівнюють відношенню m_i/h (щільність частоти; mi — сума частот варіант, що потрапили в i-й інтервал).

Площа гістограми частот дорівнює обсягу вибірки п.

Гістограмою відносних частот називають східчасту фігуру, що складається із прямокутників, підставами яких служать інтервали довжини h, а висоти дорівнюють відношенню Wi/h (щільність відносної частоти).

Площа гістограми відносних частот дорівнює сумі всіх відносних частот, тобто одиниці.

Рис. 2. Гістограма частот (а) і відносних частот (б)

3.4. Емпірична функція розподілу

Одним зі способів обробки статистичних даних є побудова емпіричної функції розподілу випадкової величини.

Нехай відомо статистичний розподіл частот:

xi	x1	x2	…	xk
ni	n1	n2	…	nk

Позначимо: п_x — число досвідів, у яких величина Х прийняла значення, менше, чому х; п — загальне число досвідів (обсяг вибірки).

Емпіричною функцією розподілу (функцією розподілу вибірки) називають функцію F* (х), що визначає для кожного значення x відносну частоту події X<x:

F*(x)=

Емпірична функція має наступні властивості:

1) значення емпіричної функції належать відрізку [0; 1]; 2) F*(х) —незбиткова функція; 3) якщо х₁ —найменша варіанта, а х_k - найбільша, то F* (х) =0 при х x₁ і F* (х) = 1 при х >х_k.

Графік емпіричної функції розподілу має східчастий вигляд. Величини стрибків у точках х₁, х₂, ..., х_k дорівнюють частотам п₁, п₂, ..., n_k.

Доведене, що при збільшенні числа досвідів п при будь-якому х відносна частота події Х<х наближається до ймовірності цієї події. Отже, емпірична функція розподілу F*(х) наближається до інтегральної функції F(х)=P(X<х), яку часто називають теоретичною функцією розподілу; графік F*(х) у цьому випадку буде необмежено наближатися до плавної кривої F(х). Таким чином, емпірична функція розподілу вибірки служить для оцінки теоретичної функції розподілу генеральної сукупності.

Рис. 3. Графік емпіричної функції розподілу дискретної випадкової величини Х