- •Часть II
- •I.Функции нескольких переменных
- •Функция двух переменных
- •Предел функции
- •Непрерывность функции двух переменных
- •Производные и дифференциалы функции нескольких переменных
- •Частные производные высших порядков
- •Дифференцируемость и полный дифференциал функции
- •Дифференциалы высших порядков
- •Производная сложной функции. Полная производная
- •8.Инвариантность формы полного дифференциала
- •Дифференцирование неявной функции
- •Производная по направлению
- •Градиент
- •Экстремум функции двух переменных
- •Необходимые и достаточные условия экстремума
- •II. Неопределенный интеграл
- •Понятие неопределенного интеграла
- •2. Свойства неопределенного интеграла
- •3. Таблица основных неопределенных интегралов
- •4. Основные методы интегрирования
- •5. Интегрирование рациональных функций.
- •6. Интегрирование тригонометрических функций
- •7. Интегрирование иррациональных функций
- •III. Определенный интеграл
- •Определение определенного интеграла
- •Геометрический смысл определенного интеграла
- •3) Работа переменной силы
- •Формулы Ньютона-Лейбница
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Вычисление определенного интеграла
- •Несобственные интегралы
- •7. Применение определенных интегралов для расчета геометрических и физических величин различного рода
- •7.1. Вычисление площадей плоских фигур
- •7.2 Вычисление длины дуги плоской кривой
- •7.3 Вычисление объема тела
- •8. Приближенное вычисление определенного интеграла
- •8.1. Формулы прямоугольников
- •8.2. Формула трапеций
- •8.3. Формула парабол (Симпсона)
- •IV. Кратные интегралы
- •4.1. Двойной интеграл. Основные понятия
- •4.2. Геометрический смысл двойного интеграла
- •4.3. Основные свойства двойного интеграла
- •4.4.Вычисление двойного интеграла
- •4.5. Приложения двойного интеграла
- •Статические моменты и центр тяжести плоской фигуры
- •4.6. Тройной интеграл. Основные понятия
- •4.7. Вычисление тройного интеграла.
- •4.8. Приложения тройного интеграла
- •V. Числовые ряды
- •5.1. Основные понятия
- •5.2. Необходимый признак сходимости числового ряда
- •5.3. Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов
- •5.4. Признак Даламбера
- •5.5. Радикальный признак Коши
- •5.6. Интегральный признак Коши. Обобщенный гармонический ряд
- •5.7. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды Признак Лейбница
- •5.8. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов
- •VI.Степенные ряды
- •1 Функциональные ряды
- •1.1 Основные понятия
- •2. Некоторые приложения степенных рядов
- •2.1. Приближенное вычисление значений функций
- •2.2. Приближенное вычисление определенных интегралов
- •VII. Ряды Фурье
- •7.1. Основные понятия
- •7.2. Тригонометрический ряд Фурье
- •7.3 Разложение в ряд Фурье 2π-периодических функций. Теорема Дирихле
- •7.4. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
- •7.5. Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода
- •VIII. Дифференциальные уравнения (д.У.)
- •8.1. Общие сведения на основании понятия о д.У.
- •8.2. Дифференциальное уравнение первого порядка
- •3. Линейные уравнения
- •Метод Бернулли
- •8.3.Дифференциальные уравнения высших порядков
- •1.Решение путем понижения порядка уравнения.
- •2.Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
- •8.4. Решение ду второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •1.Решение лоду второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •2. Решение лоду n –го порядка с постоянными коэффициентами.
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (лнду)
- •1.Структура общего решения лнду второго порядка.
- •2.Метод вариации произвольных постоянных.
- •3.Решение лнду второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
- •4.Решение лнду n- го порядка с постоянными коэффициентами и правой специальной частью.
- •Системы дифференциальных уравнений
- •Решение нормальных систем.
- •2.Системы линейных ду с постоянными коэффициентами.
-
Решение нормальных систем.
Одним из основных методов решения нормальной системы ДУ является метод сведения системы к одному ДУ высшего порядка. (Обратная задача – переход от ДУ к системе – рассмотрена ранее) Сам метод основан на следующих соображениях : Пусть задана система нормальных ДУ (1).Продифференцируем по х любое, например, первое уравнение
Подставив в это равенство значение производных из системы (1) получим
. Продолжая этот процесс (дифференцируем- подставляем- получаем ) найдем : . Соберем все уравнения в систему
(3)
Из первых (n-1) уравнений системы (3) выразим функции через , функцию и ее производные . В результате получим:
(4)
Найденные значения подставим в последнее из уравнений системы (3).Получим одно ДУ n-го порядка относительно искомой функции :
. Пусть его решение есть .
Продифференцировав его (n-1) раз и подставив значения производных в уравнения системы (4) найдем функции .
.
Пример: Решить систему уравнений
Продифференцируем первое уравнение :, подставляем в полученное равенство .
Составим систему уравнений . Из первого уравнения системы выражаем z через y и : (5)
Подставляем z во второе уравнение последней системы :
т.е.
Получили ЛОДУ второго порядка. Решаем его; характеристическое уравнение имеет вид
, - общее решение уравнения.
Найдем функцию z .Значения подставим в выражение z через (5).Получим : .
Таким образом, общее решение данной системы уравнений имеет вид:
, .
2.Системы линейных ду с постоянными коэффициентами.
Рассмотрим еще один способ решения нормальной системы уравнений (1) в случае, когда она представляет собой систему линейных однородных ДУ с постоянными коэффициентами, т .е. систему вида
Для простоты ограничимся рассмотрением системы трех уравнений с тремя неизвестными функциями
(6)
Здесь все коэффициенты - постоянные.
Будем искать частное решение этой системы в виде
, где - постоянные, которые надо подобрать (найти) так, чтобы решение удовлетворяло нашей системе.Подставляя эти функции в систему и сокращая на множитель получим:
или (7)
Систему (7) можно рассматривать как однородную систему трех алгебраических уравнений с тремя неизвестными . Чтобы эта система имела не нулевое решение необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю.
Этот определитель является характеристическим уравнением системы (6)Раскрыв определитель, получим уравнение третьей степени, относительно К. Рассмотрим все возможные случаи:
-
Корни характеристического уравнения действительны и различны : . Для каждого корня напишем систему (7)и определим коэффициенты (один из коэффициентов можно считать равным единице). Таким образом, получим:
Для корня частное решение системы (6):
Для корня
Для корня .
Можно показать, что эти функции образуют фундаментальную систему и поэтому общее решение системы (6) запишется в виде
Пример: Решить систему
Характеристическое уравнение имеет вид
или .
Частные решения системы ищем в виде
.
Найдем . При система (7) имеет вид
Последняя система имеет бесчисленное множество решений .Положив получим и получим частные решения . При система (7) имеет вид . Положив , получим .Значит корню соответствуют частные решения . Общее решение системы запишется в виде .
-
Корни характеристического уравнения различны, но среди них есть комплексные
.Вид частных решений в этой ситуации определяют также как и в 1) .
Пример: Найти частное решение системы
Составляем и решаем характеристическое уравнение
Для получим отсюда
Частное решение системы . Для получим
Отсюда находим . Частное комплексное решение системы . В полученных решениях выделим действительную и мнимую части :
Корень приведет к тем же самым решениям.
Таким образом, общее решение системы примет вид
Выделим частное решение системы. При заданных начальных условиях получим систему уравнений для определения
Следовательно, искомое решение имеет вид
-
Характеристическое уравнение имеет корень кратности .Решение системы, соответствующее кратному корню, следует искать в виде:
Это решение зависит от произвольных постоянных. Постоянные определяются методом неопределенных коэффициентов. Выразив все коэффициенты через m из них, полагаем поочередно один из них равным единице, а остальные равными нулю. Получим m линейно независимых частных решений системы (6).
Пример: Решить систему уравнений
Составим характеристическое уравнение
Корню соответствует система
Полагая, находим . Получаем первое частное решение
. Двукратному корню соответствует решение вида . Подставляя это решение в исходную систему, получим:
После сокращения на и перегруппировки
Эти равенства выполняются лишь тогда, когда
Выразим все коэффициенты через два из них (m=2) , например А и В. Из второго уравнения B=F,тогда с учетом первого уравнения получим D=B. Из четвертого уравнения находим
E=A-D, или Е=A-B. Из третьего C=E-B т.е. . Коэффициенты A и B – произвольные.
Полагая А=1,В=0, найдем : С=1,D=0, Е=1, F=0.
Полагая А=0,В=1, найдем : С=-2, D=1, E=-1, F=1.
Получим два линейно независимых частных решения, соответствующих двукратному корню .
.
И общее решение исходной системы примет вид