- •Часть II
- •I.Функции нескольких переменных
- •Функция двух переменных
- •Предел функции
- •Непрерывность функции двух переменных
- •Производные и дифференциалы функции нескольких переменных
- •Частные производные высших порядков
- •Дифференцируемость и полный дифференциал функции
- •Дифференциалы высших порядков
- •Производная сложной функции. Полная производная
- •8.Инвариантность формы полного дифференциала
- •Дифференцирование неявной функции
- •Производная по направлению
- •Градиент
- •Экстремум функции двух переменных
- •Необходимые и достаточные условия экстремума
- •II. Неопределенный интеграл
- •Понятие неопределенного интеграла
- •2. Свойства неопределенного интеграла
- •3. Таблица основных неопределенных интегралов
- •4. Основные методы интегрирования
- •5. Интегрирование рациональных функций.
- •6. Интегрирование тригонометрических функций
- •7. Интегрирование иррациональных функций
- •III. Определенный интеграл
- •Определение определенного интеграла
- •Геометрический смысл определенного интеграла
- •3) Работа переменной силы
- •Формулы Ньютона-Лейбница
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Вычисление определенного интеграла
- •Несобственные интегралы
- •7. Применение определенных интегралов для расчета геометрических и физических величин различного рода
- •7.1. Вычисление площадей плоских фигур
- •7.2 Вычисление длины дуги плоской кривой
- •7.3 Вычисление объема тела
- •8. Приближенное вычисление определенного интеграла
- •8.1. Формулы прямоугольников
- •8.2. Формула трапеций
- •8.3. Формула парабол (Симпсона)
- •IV. Кратные интегралы
- •4.1. Двойной интеграл. Основные понятия
- •4.2. Геометрический смысл двойного интеграла
- •4.3. Основные свойства двойного интеграла
- •4.4.Вычисление двойного интеграла
- •4.5. Приложения двойного интеграла
- •Статические моменты и центр тяжести плоской фигуры
- •4.6. Тройной интеграл. Основные понятия
- •4.7. Вычисление тройного интеграла.
- •4.8. Приложения тройного интеграла
- •V. Числовые ряды
- •5.1. Основные понятия
- •5.2. Необходимый признак сходимости числового ряда
- •5.3. Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов
- •5.4. Признак Даламбера
- •5.5. Радикальный признак Коши
- •5.6. Интегральный признак Коши. Обобщенный гармонический ряд
- •5.7. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды Признак Лейбница
- •5.8. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов
- •VI.Степенные ряды
- •1 Функциональные ряды
- •1.1 Основные понятия
- •2. Некоторые приложения степенных рядов
- •2.1. Приближенное вычисление значений функций
- •2.2. Приближенное вычисление определенных интегралов
- •VII. Ряды Фурье
- •7.1. Основные понятия
- •7.2. Тригонометрический ряд Фурье
- •7.3 Разложение в ряд Фурье 2π-периодических функций. Теорема Дирихле
- •7.4. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
- •7.5. Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода
- •VIII. Дифференциальные уравнения (д.У.)
- •8.1. Общие сведения на основании понятия о д.У.
- •8.2. Дифференциальное уравнение первого порядка
- •3. Линейные уравнения
- •Метод Бернулли
- •8.3.Дифференциальные уравнения высших порядков
- •1.Решение путем понижения порядка уравнения.
- •2.Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
- •8.4. Решение ду второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •1.Решение лоду второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •2. Решение лоду n –го порядка с постоянными коэффициентами.
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (лнду)
- •1.Структура общего решения лнду второго порядка.
- •2.Метод вариации произвольных постоянных.
- •3.Решение лнду второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
- •4.Решение лнду n- го порядка с постоянными коэффициентами и правой специальной частью.
- •Системы дифференциальных уравнений
- •Решение нормальных систем.
- •2.Системы линейных ду с постоянными коэффициентами.
-
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (лнду)
1.Структура общего решения лнду второго порядка.
Рассмотрим ЛНДУ второго порядка
(20)
Где - заданные непрерывные на (a,b) функции ,уравнение левая часть которого совпадает с левой частью нашего уравнения называется соответствующим ему однородным уравнением .
Теорема : Общим решением уравнения (20) (y) является сумма его произвольного частного решения y* и общего решения соответствующего однородного уравнения т.е.. Доказательство этой теоремы опустим.
2.Метод вариации произвольных постоянных.
Рассмотрим ЛНДУ (20) .Его общим решением, согласно только, что приведенной теоремы является соотношение . Чаcтное решение y* уравнения (20) можно найти ,если известно общее решение соответствующего однородного уравнения , методом вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа), состоящий в следующем. Пусть - общее решение однородного уравнения.Заменим в общем решении постоянные и неизвестными функциями и и подберем их так, чтобы функция была решением уравнения (20).Найдем производную
Подберем функции и так, чтобы , (21), тогда
, а .
Подставляя выражения для y* ,и в уравнение (20) получим
или…
Поскольку и - решение соответствующего однородного уравнения, то выражения в квадратных скобках равны нулю, и поэтому
(22)
Таким образом, функция y* будет частным решением уравнения (20) если и
удовлетворяют системе уравнений (21) и (22).
(23)
Определитель системы ,так как это определитель для фундаментальной системы частных решений и однородного уравнения .Поэтому система (23) должна иметь единственное решение и , где и - некоторые функции от x. Интегрируя эти функции находим и , а затем , в соответствии с формулой для у* составляем частное решение уравнения (20).
Пример : ;
Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Имеем
Следовательно, .Теперь найдем частное решение у* исходного уравнения .Оно, как говорилось выше, ищется в виде .Для нахождения и составим систему уравнений
Решаем ее
;
Запишем частное решение данного уравнения .Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид
.
При нахождении частных решений ЛНДУ может оказаться полезной следующая теорема:
Теорема: Если правая часть уравнения (20) представляет собой сумму двух функций , а и - частные решения уравнений и соответственно, то функция является частным решением данного уравнения.
3.Решение лнду второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
Рассмотрим ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами т.е. уравнение
(24)
Где p и g – некоторые числа согласно вышеприведенной теореме. Общее решение этого уравнения представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения у* неоднородного. Частное решение может быть найдено методом вариации произвольных постоянных.
Однако, для уравнений с постоянными коэффициентами существует более простой способ нахождения у* ,если правая часть уравнения имеет «специальный вид»:
I . или II.
Cуть метода, называемого методом неопределенных коэффициентов, состоит в следующем: по виду правой части f(x) уравнения (24) записывают ожидаемую форму частного решения с неопределенными коэффициентами , затем подставляют его в уравнение (24) и из полученного тождества находят значение коэффициентов.
Вариант 1. Правая часть имеет вид , где - многочлен степени n.
Уравнение (24) запишется в виде (25)
В этом случае частное решение y* ищется в виде . Здесь r – число равное кратности , как корня характеристического уравнения.
(т.е. r – число, показывающее, сколько раз является корнем уравнения ), а - многочлен степени n , записанный с неопределенными коэффициентами
а) Пусть не является корнем характеристического уравнения т.е.
. Следовательно,
После подстановки функции y* и ее производных в уравнение (25) и сокращения на , получим : (26)
Слева многочлен степени n с неопределенными коэффициентами, справа – многочлен степени n , но с известными коэффициентами. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим систему (n + 1) алгебраических уравнений для определения коэффициентов .
б) Пусть является однократным (простым) корнем характеристического уравнения
,т.е. . В этом случае искать решение в форме
нельзя , т.к. , и уравнение (26)принимает вид
.
В левой части многочлен степени (n-1) , а в правой многочлен степени n .Чтобы получить тождество многочленов в решении у* нужно иметь многочлен тоже степени
(n-1), поэтому частное решение у* следует искать в виде (в частном решении положить (r = 1)).
в) Пусть является двукратным корнем характеристического уравнения , т.е. . В этом случае , а поэтому уравнение (26) принимает вид . Слева стоит многочлен степени n-2. Понятно, что чтобы иметь слева многочлен степени n ,частное решение у* следует искать в виде
( т.е. в частном решении уравнения надо положить r =2).
Вариант 2. Правая часть уравнения (24) имеет вид
, где - многочлены степени n и m соответственно, - действительные числа. Уравнение (24) запишется в виде (27)
Можно показать, что в этом случае частное решение у* последнего уравнения следует искать в виде
(28) , где
r – число , равное кратности , как корня характеристического уравнения , - многочлены степени с неопределенными коэффициентами, - наивысшая степень многочленов ,т.е.
= max (n, m).
Примечания:
-
При подстановке функции (28) в (27) приравнивают многочлены, стоящие перед одноименными тригонометрическими функциями в левой и правой частях уравнения .
-
Формула (28) сохраняется и в случаях, когда .
-
Если правая часть уравнения (24) есть сумма вида I или II то для нахождения у* следует использовать теорему о наложении решений.
Пример:
Найдем общее решение ЛОДУ , его характеристическое уравнение
имеет корень кратности 2. Значит . Находим частное решение исходного уравнения .В нем правая часть есть формула вида
, причем не является корнем характеристического уравнения . Поэтому , частное решение ищем как частное решение уравнения (25) в виде ,т.е. , где A и B – неопределенные коэффициенты .Тогда . Подставив в исходное уравнение получим , или . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получаем систему уравнений , отсюда А=1,В=-2.
Поэтому частное решение данного уравнения имеет вид . Следовательно,
- искомое общее решение уравнения.