- •Часть II
- •I.Функции нескольких переменных
- •Функция двух переменных
- •Предел функции
- •Непрерывность функции двух переменных
- •Производные и дифференциалы функции нескольких переменных
- •Частные производные высших порядков
- •Дифференцируемость и полный дифференциал функции
- •Дифференциалы высших порядков
- •Производная сложной функции. Полная производная
- •8.Инвариантность формы полного дифференциала
- •Дифференцирование неявной функции
- •Производная по направлению
- •Градиент
- •Экстремум функции двух переменных
- •Необходимые и достаточные условия экстремума
- •II. Неопределенный интеграл
- •Понятие неопределенного интеграла
- •2. Свойства неопределенного интеграла
- •3. Таблица основных неопределенных интегралов
- •4. Основные методы интегрирования
- •5. Интегрирование рациональных функций.
- •6. Интегрирование тригонометрических функций
- •7. Интегрирование иррациональных функций
- •III. Определенный интеграл
- •Определение определенного интеграла
- •Геометрический смысл определенного интеграла
- •3) Работа переменной силы
- •Формулы Ньютона-Лейбница
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Вычисление определенного интеграла
- •Несобственные интегралы
- •7. Применение определенных интегралов для расчета геометрических и физических величин различного рода
- •7.1. Вычисление площадей плоских фигур
- •7.2 Вычисление длины дуги плоской кривой
- •7.3 Вычисление объема тела
- •8. Приближенное вычисление определенного интеграла
- •8.1. Формулы прямоугольников
- •8.2. Формула трапеций
- •8.3. Формула парабол (Симпсона)
- •IV. Кратные интегралы
- •4.1. Двойной интеграл. Основные понятия
- •4.2. Геометрический смысл двойного интеграла
- •4.3. Основные свойства двойного интеграла
- •4.4.Вычисление двойного интеграла
- •4.5. Приложения двойного интеграла
- •Статические моменты и центр тяжести плоской фигуры
- •4.6. Тройной интеграл. Основные понятия
- •4.7. Вычисление тройного интеграла.
- •4.8. Приложения тройного интеграла
- •V. Числовые ряды
- •5.1. Основные понятия
- •5.2. Необходимый признак сходимости числового ряда
- •5.3. Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов
- •5.4. Признак Даламбера
- •5.5. Радикальный признак Коши
- •5.6. Интегральный признак Коши. Обобщенный гармонический ряд
- •5.7. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды Признак Лейбница
- •5.8. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов
- •VI.Степенные ряды
- •1 Функциональные ряды
- •1.1 Основные понятия
- •2. Некоторые приложения степенных рядов
- •2.1. Приближенное вычисление значений функций
- •2.2. Приближенное вычисление определенных интегралов
- •VII. Ряды Фурье
- •7.1. Основные понятия
- •7.2. Тригонометрический ряд Фурье
- •7.3 Разложение в ряд Фурье 2π-периодических функций. Теорема Дирихле
- •7.4. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
- •7.5. Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода
- •VIII. Дифференциальные уравнения (д.У.)
- •8.1. Общие сведения на основании понятия о д.У.
- •8.2. Дифференциальное уравнение первого порядка
- •3. Линейные уравнения
- •Метод Бернулли
- •8.3.Дифференциальные уравнения высших порядков
- •1.Решение путем понижения порядка уравнения.
- •2.Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
- •8.4. Решение ду второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •1.Решение лоду второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •2. Решение лоду n –го порядка с постоянными коэффициентами.
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (лнду)
- •1.Структура общего решения лнду второго порядка.
- •2.Метод вариации произвольных постоянных.
- •3.Решение лнду второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
- •4.Решение лнду n- го порядка с постоянными коэффициентами и правой специальной частью.
- •Системы дифференциальных уравнений
- •Решение нормальных систем.
- •2.Системы линейных ду с постоянными коэффициентами.
3. Линейные уравнения
Д.У. первого порядка называется линейным, если его можно записать в виде: , где – заданные функции и в частности постоянные.
Особенность этих Д.У. заключается в том, что искомая функция у и ее производная входят в уравнение первой степени не перемножаясь между собой.
Рассмотрим два метода решения этих уравнений. (Методы Бернулли и Лагранжа.)
-
Метод Бернулли
В этом случае решение линейного уравнения ищется в виде произведения двух функций, т.е. с помощью подстановки, где и – неизвестные функции от х, причем одна из них произвольная. Так любую у(х) можно записать в виде .
Тогда . Делая подстановку в линейном Д.У. получим или (6).
Подберем функцию так, чтобы выражение в скобках было равно нулю, т.е. решим Д.У. . Итак, т.е. или . Ввиду свободы выбора функции можно принять с=1, тогда . Подставляя найденное значение в (6), получим . Это уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его. .Интегрируя получим: . Возвращаясь к переменной у, получим окончательно . Это решение исходного линейного Д.У.
2. Метод Лагранжа
Линейное уравнение решается следующим образом. Рассмотрим соответствующее уравнение без правой части, т.е. уравнение . Оно называется линейным однородным Д.У. первого порядка. В этом уравнении можно провести разделение переменных. и .Таким образом, , т.е. или , где
Метод Лагранжа состоит в том, что постоянную с в полученном решении заменяем функцией с(х), т.е. полагаем с=с(х). Решение линейного уравнения при этом ищем в виде:
(7)
Найдем производную от этого соотношения. Подставляем значения у и у’ в линейное уравнение.
Второе и третье слагаемые взаимно уничтожаются и окончательно получим: . Следовательно, . Интегрируя, получим: .
Подставляя выражение с(х) в (7) получим общее решение линейного Д.У. , что совпадает с результатом полученным методом Бернулли.
В заключении отметим, что зачастую метод Лагранжа называют методом вариации произвольной постоянной, что обусловлено тем, что при решении полагают с=с(х).
8.3.Дифференциальные уравнения высших порядков
ДУ порядка выше первого называются ДУ высших порядков. Так ДУ второго порядка в общем случае записывается в виде следующего соотношения
или, если это уравнение можно разрешить относительно старшей производной
(8)
В дальнейшем мы будем, в основном, рассматривать уравнения типа (8).Решением такого уравнения называется всякая функция , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.
Общим решением такого ДУ называется функция
,
где независящие от постоянные удовлетворяющие условиям:
1) является решением ДУ для каждого фиксированного значения
2) каковым бы ни были начальные условия , существуют единственные значения постоянных и такие, что функция является решением уравнения (8) и удовлетворяет начальным условиям.
Всякое решение уравнения (8) полученное из общего решения при конкретных значениях постоянных называется частным решением.
Решения ДУ (8) записанные в виде называются общим и частным интегралом соответственно.
Как и в случае уравнения первого порядка, нахождение решения (8) удовлетворяющего заданным начальным условиям называется задачей Коши.
Теорема 2. Если в уравнении (8) функция и ее частные производные и непрерывны в некоторой области Д изменения переменных и ,
то для всякой точки существует единственное решение уравнения (8) удовлетворяющее начальным условиям.
Аналогичные соображения и понятия можно сформулировать и для ДУ n-го порядка, которое в общем виде можно записать так:
или (9)
если его удается разрешить относительно .
Общим решением ДУ n-го порядка будет являться функция вида содержащей независящие от x постоянные. Начальные условия для ДУ (9) записываются так:
, ,
Решение ДУ (9) получающееся из общего решения при конкретных значениях постоянных называется частным решением. Решить ДУ n-го порядка означает, что найдено его общее или частное решение в зависимости от заданных начальных условий.
Сама задача нахождения решения ДУ n-го порядка гораздо сложнее, чем первого. Поэтому рассмотрим лишь решение отдельных видов ДУ высших порядков.