- •Часть II
- •I.Функции нескольких переменных
- •Функция двух переменных
- •Предел функции
- •Непрерывность функции двух переменных
- •Производные и дифференциалы функции нескольких переменных
- •Частные производные высших порядков
- •Дифференцируемость и полный дифференциал функции
- •Дифференциалы высших порядков
- •Производная сложной функции. Полная производная
- •8.Инвариантность формы полного дифференциала
- •Дифференцирование неявной функции
- •Производная по направлению
- •Градиент
- •Экстремум функции двух переменных
- •Необходимые и достаточные условия экстремума
- •II. Неопределенный интеграл
- •Понятие неопределенного интеграла
- •2. Свойства неопределенного интеграла
- •3. Таблица основных неопределенных интегралов
- •4. Основные методы интегрирования
- •5. Интегрирование рациональных функций.
- •6. Интегрирование тригонометрических функций
- •7. Интегрирование иррациональных функций
- •III. Определенный интеграл
- •Определение определенного интеграла
- •Геометрический смысл определенного интеграла
- •3) Работа переменной силы
- •Формулы Ньютона-Лейбница
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Вычисление определенного интеграла
- •Несобственные интегралы
- •7. Применение определенных интегралов для расчета геометрических и физических величин различного рода
- •7.1. Вычисление площадей плоских фигур
- •7.2 Вычисление длины дуги плоской кривой
- •7.3 Вычисление объема тела
- •8. Приближенное вычисление определенного интеграла
- •8.1. Формулы прямоугольников
- •8.2. Формула трапеций
- •8.3. Формула парабол (Симпсона)
- •IV. Кратные интегралы
- •4.1. Двойной интеграл. Основные понятия
- •4.2. Геометрический смысл двойного интеграла
- •4.3. Основные свойства двойного интеграла
- •4.4.Вычисление двойного интеграла
- •4.5. Приложения двойного интеграла
- •Статические моменты и центр тяжести плоской фигуры
- •4.6. Тройной интеграл. Основные понятия
- •4.7. Вычисление тройного интеграла.
- •4.8. Приложения тройного интеграла
- •V. Числовые ряды
- •5.1. Основные понятия
- •5.2. Необходимый признак сходимости числового ряда
- •5.3. Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов
- •5.4. Признак Даламбера
- •5.5. Радикальный признак Коши
- •5.6. Интегральный признак Коши. Обобщенный гармонический ряд
- •5.7. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды Признак Лейбница
- •5.8. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов
- •VI.Степенные ряды
- •1 Функциональные ряды
- •1.1 Основные понятия
- •2. Некоторые приложения степенных рядов
- •2.1. Приближенное вычисление значений функций
- •2.2. Приближенное вычисление определенных интегралов
- •VII. Ряды Фурье
- •7.1. Основные понятия
- •7.2. Тригонометрический ряд Фурье
- •7.3 Разложение в ряд Фурье 2π-периодических функций. Теорема Дирихле
- •7.4. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
- •7.5. Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода
- •VIII. Дифференциальные уравнения (д.У.)
- •8.1. Общие сведения на основании понятия о д.У.
- •8.2. Дифференциальное уравнение первого порядка
- •3. Линейные уравнения
- •Метод Бернулли
- •8.3.Дифференциальные уравнения высших порядков
- •1.Решение путем понижения порядка уравнения.
- •2.Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
- •8.4. Решение ду второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •1.Решение лоду второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •2. Решение лоду n –го порядка с постоянными коэффициентами.
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (лнду)
- •1.Структура общего решения лнду второго порядка.
- •2.Метод вариации произвольных постоянных.
- •3.Решение лнду второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
- •4.Решение лнду n- го порядка с постоянными коэффициентами и правой специальной частью.
- •Системы дифференциальных уравнений
- •Решение нормальных систем.
- •2.Системы линейных ду с постоянными коэффициентами.
7.1. Вычисление площадей плоских фигур
Как уже говорилось выше площадь криволинейной трапеции, расположенной выше оси абсцисс , равна определенному интегралу или . Формула получена путем применения первого способа – метода сумм. Покажем, что именно это можно получить, используя приращение . При этом получит приращение , представляющее площадь элементарной криволинейной трапеции. в этом случае есть главная часть приращения при и, очевидно он равен произведению , как площади прямоугольника с высотой и с основанием .
Интегрируя полученное соотношение в
пределах от
до
,
получим
.
Если криволинейная трапеция расположена
ниже оси
,
то ее площадь может быть найдена по
формуле
.
Эти формулы можно объединить в одну
.
Площадь фигуры, ограниченной двумя
кривыми
и
(рис.1) при условии
и прямыми
;
можно найти, используя соотношение:
.
Если плоская фигура имеет сложную форму,
то прямыми, параллельными оси
ее
следует разбить на части так, чтобы
можно было применить выше записанные
соотношения (рис.2). Если (Рис. 3.)
криволинейная
трапеция ограничена прямыми
,
,
осью
и
кривой
,
то ее площадь находится по формуле
.
И, наконец, если криволинейная т
Рис.3.
Рис.1.
7.2 Вычисление длины дуги плоской кривой
П
Рис.2.
Рис.4.
Длина ℓ кривой АВ по определению равна ℓ . Заметим, что при также и ( и, следовательно, ). Функция непрерывна на отрезке , так как по условию непрерывна функция . Следовательно, существует предел интегральной суммы, когда : ℓ . Таким образом,
ℓ или ℓ (2).
Если уравнение кривой задано в параметрической форме , где x(t) и y(t) – непрерывные функции с непрерывными производными и , , то длина ℓ находится по формуле: ℓ . Это соотношение получается из (2) путем подстановки , , .
Пример: Найти длину окружности радиуса R.
Если уравнение окружности записать в параметрической форме , то ℓ.
7.3 Вычисление объема тела
а) Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений.
Пусть требуется найти объем тела V при известной площади S сечений этого тела относительно плоскости, перпендикулярной некоторой оси, например, ох; . Применим метод 2.
Через произвольную точку проведем плоскость , перпендикулярную оси ох. Обозначим через площадь сечения тела этой плоскостью. считаем известной и изменяющейся непрерывно при изменении . Через v обозначим объем части тела, лежащие левее плоскости . Будем считать, что на отрезке величина v есть функция от , т.е. v = v (x)( v ()=0, v ()=v. Теперь найдем дифференциал функции v = v (x). Он представляет собой слой тела, заключенного между параллельными плоскостями, пересекающими ось в точках и , который можно приближено принять за цилиндр с основанием и высотой (рис.5). поэтому дифференциал объема . Тогда для нахождения полного объема это соотношение надо проинтегрировать в пределах от до .
- полученная формула называется формулой объема тела по площади параллельных сечений.
Пример: Найти объем эллипсоида . Если эллипсоид рассечен плоскостью, параллельной плоскости и на расстоянии от нее получим эллипс (см. рис. 6).
.
Площадь этого эллипса равна . Поэтому объем эллипсоида
б) Объем тела вращения
Пусть вокруг оси вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией отрезком и прямыми и . Полученная от вращения фигура, называется телом вращения. Сечение этого тела - плоскостью, перпендикулярной оси , проведенной через произвольную точку, есть круг радиуса . Следовательно, . Поскольку - выражение для объема тела вращения вокруг оси . Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции и прямыми при условии , то для объема тела, образованного вращением этой трапеции относительно оси , по аналогии с полученным выше можно записать:
в) Вычисление координат центра тяжести плоской фигуры
П
Рис. 8.