Решение: Оценка параметров уравнения множественной регрессии Оценка параметров с помощью метода определителей

Параметры уравнения множественной регрессии оцениваются, как и в парной регрессии, методом наименьших квадратов (МНК). При его применении строится система нормальных уравнений, решение которой и позволяет получить оценки параметров регрессии. Так, для уравнения система нормальных уравнений составит:

На основе расчетов, представленных в таблице 2.2, получили следующую систему:

.

Решаем систему с помощью метода определителей.

При этом

где - определитель системы;

- частные определители.

Таблица 2.2 Вспомогательная таблица для расчета параметров уравнения множественной регрессии

Наименование хозяйства
Респ. Башкортостан	262,67	1856,0	148,40	68995,53	487515,52	3444736,00	38980,23	275430,40	22022,56
Респ. Марий Эл	221,50	329,0	79,99	49062,25	72873,50	108241,00	17717,79	26316,71	6398,40
Респ. Мордовия	276,51	395,3	91,23	76457,78	109304,40	156262,09	25226,01	36063,22	8322,91
Респ. Татарстан	375,24	1813,9	204,89	140805,06	680647,84	3290233,21	76882,92	371649,97	41979,91
Удмуртская Респ.	286,31	766,3	134,06	81973,42	219399,35	587215,69	38382,72	102730,18	17972,08
Чувашская Респ.	256,42	599,9	94,91	65751,22	153826,36	359880,01	24336,82	56936,51	9007,91
Пермский край	439,13	1343,4	176,18	192835,16	589927,24	1804723,56	77365,92	236680,21	31039,39
Кировская область	269,91	700,9	84,67	72851,41	189179,92	491260,81	22853,28	59345,20	7169,01
Нижегород. обл.	277,68	1760,9	140,60	77106,18	488966,71	3100768,81	39041,81	247582,54	19768,36
Оренбургская обл.	286,48	1047,7	176,73	82070,79	300145,10	1097675,29	50629,61	185160,02	31233,49
Пензенская область	248,88	677,3	86,14	61941,25	168566,42	458735,29	21438,52	58342,62	7420,10
Самарская область	391,82	1592,4	189,05	153522,91	623934,17	2535737,76	74073,57	301043,22	35739,90
Саратовская обл.	269,43	1197,5	101,05	72592,52	322642,43	1434006,25	27225,90	121007,38	10211,10
Ульяновская обл.	215,81	607,3	96,22	46573,96	131061,41	368813,29	20765,24	58434,41	9258,29
Сумма	4077,79	14687,80	1804,12	1242539,43	4537990,37	19238289,06	554920,34	2136722,59	257543,42
Среднее значение	291,27	1049,13	128,87	88752,82	324142,17	1374163,50	39637,17	152623,04	18395,96

Определитель системы имеет вид:

1992044223231,133334

Частные определители получаем путем замены соответствующего столбца матрицы определителя системы данными левой части системы.

- 28340813163909,3339

689247301237,9721

79681768929,2453

∆=1992044223231,133334, ∆а=- 28340813163909,3339,

,

∆b₁= 689247301237,9721, ,

∆b₂ = 79681768929,2453, .

Уравнение множественной регрессии имеет вид:

.

В линейной множественной регрессии параметры при х называются коэффициентами условно чистой регрессии. Они характеризуют среднее изменение результатов, с изменением соответствующего фактора на единицу при неизменном значении других факторов, закрепленных на среднем уровне.

Так, в нашем случае, с увеличением среднегодовой стоимости основных фондов на душу населения на 1 тыс. руб., ВРП на душу населения увеличится в среднем на 0,346 тыс. руб. при той же среднегодовой численности занятых в экономике. Повышение среднегодовой численности занятых в экономике на 1 тыс. чел. при том же уровне среднегодовой стоимости основных фондов на душу населения приведет к увеличению ВРП на душу населения на 0,040 тыс. руб.

Построение уравнения регрессии в стандартизованном масштабе

Параметры множественной регрессии можно определить другим способом, когда на основе матрицы парных коэффициентов корреляции строится уравнение регрессии в стандартизованном масштабе:

,

где t- стандартизованные переменные, для которых среднее значение

равно 0, а среднее квадратическое отклонение равно 1;

β – стандартизованные коэффициенты регрессии.

Применяя МНК к уравнению множественной регрессии в стандартизованном масштабе, после соответствующих преобразований получим систему нормальных уравнений вида:

где r_ух1, r_ух2 - парные коэффициенты корреляции.

Парные коэффициенты корреляции найдем по формулам:

где

Система уравнений имеет вид:

Решив систему методом определителей, получили формулы:

Уравнение в стандартизованном масштабе имеет вид:

Уравнение в стандартизованном масштабе показывает, что с ростом среднегодовой стоимости основных фондов на душу населения на 1 сигму при неизменном среднем уровне среднегодовой численности занятых в экономике, ВРП на душу населения в среднем повысится на 0,512 сигмы; а с увеличением среднегодовой численности занятых в экономике на 1 сигму при неизменном уровне среднегодовой стоимости основных фондов на душу населения, ВРП на душу населения увеличится на 0,498 сигмы.

Во множественной регрессии коэффициенты «чистой» регрессии b_i связаны со стандартизованными коэффициентами регрессии β_i следующим образом:

Проверяем: