1.6. Задачи для самостоятельного решения

1. Найти уравнения проекций прямой на координатные плоскости.

2. Привести к каноническому виду уравнения прямой

3. Вычислить углы, образованные с осями координат прямой

4. Найти уравнения прямой, проходящей через точку и образующей с осями и углы 45° и 60º.

5. Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку параллельно:

а) вектору ; б) прямой

в) оси ; г) оси ; д) прямой

е) прямой

6. Найти угол между прямыми и

7. Даны две вершины параллелограмма АВСD: и и точка пересечения диагоналей . Найти уравнения стороны АВ.

8. Треугольник АВС образован пересечением плоскости с координатными осями. Найти уравнение средней линии треугольника, параллельной плоскости .

9. Составить уравнение прямой, проходящей через точку и образующей равные углы с векторами .

10. Заданы прямая и точка . Требуется:

а) написать уравнение плоскости, проходящей через прямую L и точку М;

б) написать уравнение плоскости, проходящей через точку М перпендикулярно прямой L;

в) написать уравнения перпендикуляра, опущенного из точки М на прямую L;

г) вычислить расстояние ;

д) найти проекцию точки М на прямую L.

11. Заданы плоскость Р: и прямая L: . Требуется:

а) вычислить и координаты точки пересечения прямой и плоскости;

б) написать уравнение плоскости, проходящей через прямую L перпендикулярно плоскости Р;

в) написать уравнения проекции прямой L на плоскость Р.

12. Доказать, что прямые L₁: и параллельны и найти расстояние .

13. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости и пересекающей прямую

14. Написать канонические уравнения прямой, которая проходит через точку параллельно плоскости и пересекает прямую

15. Найти точку, симметричную точке относительно прямой

16. Записать уравнение плоскости, проходящей через прямую и равноудаленной от точек и .

17. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую L₁:  параллельно прямой

18. Вычислить расстояние между прямыми и L₂: 

19. Написать уравнение общего перпендикуляра к прямым L₁:  и L₂: 

20. Доказать, что прямые L₁:  и L₂:  лежат в одной плоскости и написать уравнение этой плоскости.

Ответы

1)  2) . 3) . 4) . 5) а) ; б) ;  в) ; г) ; д) ; е) . 6) . 7) . 8) . 9) . 10)  а) ; б) ; в)  или ; г) ; д) . 11)  а) ; б) ; в)  12) . 13) . 14) . 15) . 16) . 17) . 18) . 19)  20) .

2. Линии и поверхности

2.1. Линии второго порядка в декартовой системе координат

Линией (кривой) второго порядка называется множество точек плоскости, декартовы координаты и которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени

, (2.1)

где коэффициенты уравнения – постоянные действительные числа. Уравнение (2.1) называется общим уравнением линии второго порядка.

В общем случае уравнение (2.1) может определять так называемую вырожденную кривую (пустое множество, точку, прямую, пару прямых).

Если кривая невырожденная, то для нее найдется такая декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение этой кривой задает эллипс, гиперболу, параболу.