1.3. Плоскость и прямая в пространстве
1°. Общее уравнение плоскости.
Теорема. Всякая плоскость в
пространстве может быть задана уравнением
первой степени относительно переменных
:
,
(1.17)
если
.
Всякое уравнение первой степени
относительно переменных
определяет некоторую плоскость в
пространстве.
Уравнение (1.17) называется общим
уравнением плоскости. Здесь A,
B, C
– координаты ненулевого вектора
перпендикулярного плоскости, называемого
нормальным вектором плоскости.
Положение плоскости в пространстве
вполне определено, если известны точка
принадлежащая ей, и нормальный вектор
Тогда уравнение плоскости имеет вид:
(1.18)
и называется уравнением плоскости с
нормальным вектором
и проходящей через точку
.
Частные случаи расположения плоскости, определяемой общим уравнением (1.17):
1)
;
параллельна оси
;
2)
;
параллельна оси
;
3)
;
параллельна оси
;
4)
;
проходит через начало координат;
5)
;
перпендикулярна оси
(параллельна плоскости
);
6)
;
перпендикулярна оси
(параллельна плоскости
);
7)
;
перпендикулярна оси
(параллельна
плоскости
);
8)
;
проходит через ось
;
9)
;
проходит через ось
;
10)
;
проходит через ось
;
11)
;
совпадает с плоскостью
;
12)
;
совпадает с плоскостью
;
12)
;
совпадает с плоскостью
.
Существуют различные способы задания плоскости и соответствующие им виды ее уравнения.
2°. Уравнение плоскости в отрезках.
Если в общем уравнении плоскости (1.17)
коэффициент
,
то разделив все члены уравнения на
,
уравнение плоскости можно привести к
виду
,
(1.19)
где
.
Это уравнение называется уравнением
плоскости в отрезках: в нем
и
– соответственно абсцисса, ордината и
аппликата точек пересечения плоскости
с осями
,
и
.
3°. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.
Три точки
однозначно определяют положение
плоскости Р в пространстве.
Пусть
– произвольная точка плоскости Р.
Тогда векторы
и
компланарны и, значит, их смешанное
произведение равно нулю, т. е.
или
.
(1.20)
Равенство (1.20) и является уравнением плоскости, проходящей через три точки. Раскрыв данный определитель по элементам первой строки, придем к уравнению вида (1.18).
4°. Нормальное уравнение плоскости.
Пусть
– единичный вектор нормали к плоскости
Р, проведенный к ней из начала
координат. Тогда его координатами будут
направляющие косинусы:
,
где
– углы, образованные этим перпендикуляром
с осями координат
,
,
.
Пусть р – длина этого перпендикуляра,
а
– радиус-вектор текущей точки
.
Тогда уравнение плоскости в векторной
форме имеет вид
.
(1.21)
В координатной форме уравнение (1.21) принимает вид
(1.22)
и называется нормальным уравнением плоскости.
Для приведения общего уравнения плоскости
(1.17) к нормальному виду (1.22), следует все
члены уравнения умножить на нормирующий
множитель
где знак выбирается противоположным
знаку свободного члена D.