1.2. Задачи для самостоятельного решения
1. Написать общее уравнение прямой, заданной:
а) точкой
и нормальным вектором
;
б) точкой
и направляющим вектором
;
в) двумя своими точками
и
.
Привести общее уравнение к нормальному виду и указать расстояние от начала координат до прямой.
2. Уравнение прямой задано в виде
.
Написать:
а) общее уравнение прямой; б) уравнение с угловым коэффициентом; в) уравнение в отрезках; г) нормальное уравнение.
3. Составить уравнение прямой,
отсекающей на оси ординат отрезок
и образующей с положительным направлением
оси абсцисс угол
.
4. Составить уравнение прямой,
отсекающей на осях координат равные
отрезки, если длина отрезка прямой,
заключенного между осями координат,
равна
.
5. Найти угол между прямыми
,
.
6. Луч света направлен по прямой
.
Определить точку встречи луча с осью
и уравнение отраженного луча.
7. Из точки
выходит луч света под углом
к оси
и отражается от оси
,
а затем от оси
.
Написать уравнение всех трех лучей.
8. Написать уравнение прямой, проходящей
через точку
под углом
к прямой L :
,
.
9. В равнобедренном треугольнике дана
вершина острого угла
и уравнение противоположного катета
.
Составить уравнение гипотенузы и другого
катета.
10. Исследовать взаимное расположение
заданных прямых
и
.
При этом в случае параллельности этих
прямых найти расстояние между ними, в
случае пересечения этих прямых – косинус
угла между ними и точку
пересечения прямых.
а)
;
б)
;
в)
.
11. Составить уравнение прямой,
проходящей через точку
и параллельной прямой
12. Составить уравнение прямой,
проходящей через точку
и перпендикулярной к прямой
.
13. Написать уравнение прямой,
параллельной двум заданным прямым
и
и проходящей посередине между ними.
14. Найти точку
,
симметричную точке
относительно прямой
.
15. Составить уравнение сторон квадрата,
если дана его вершина
и точка пересечения диагоналей
16. Проверить, что четыре точки
служат вершинами трапеции и составить
уравнения средней линии и диагоналей
трапеции.
17. Написать уравнение прямой, которая
отстоит от точки
на расстояние
и образует с осью
угол, вдвое больший угла, составляемого
с осью
прямой
18. Определить площадь треугольника,
заключенного между осями координат и
прямой
19. Через точку
провести прямую так, чтобы площадь
треугольника, образованного этой прямой
и осями координат, была равна трем
квадратным единицам.
20. Составить уравнение множества
точек, равноудаленных от двух прямых
и
21. Составить уравнение биссектрис
углов, образованных двумя пересекающимися
прямыми:
и
22. Вычислить длину перпендикуляра,
проведенного из точки
к прямой
.
23. Вычислить площадь квадрата, две
противоположные стороны которого лежат
на прямых
24. Найти проекцию точки
на прямую, проходящую через точки
и
.
25. Написать уравнения сторон
треугольника ABC, если
задана его вершина
и уравнения двух медиан
и
26. Составить уравнения сторон
треугольника
,
зная его вершину
,
а также уравнения высоты
и биссектрисы
проведенных из одной вершины. Решить
задачу, не вычисляя координат вершин В
и С.
27. Написать уравнения сторон
треугольника ABC, зная
одну его вершину
,
а также уравнения высоты
и медианы
,
проведенных из различных вершин.
28. Даны уравнения
биссектрис двух внутренних углов
треугольника и уравнение
стороны, соединяющей вершины, из которых
выходят данные биссектрисы. Написать
уравнения двух других сторон треугольника.
29. Даны уравнения двух сторон
параллелограмма
,
и точка пересечения его диагоналей
.
Найти уравнения двух других сторон.
30. Даны стороны треугольника:
,
.
Составить уравнение прямой, проходящей
через вершину В и через точку на
стороне
,
делящую ее (считая от вершины А) в
отношении
Ответы
1) а) 
;
;
.
б) 
;
;
.
в) 
,
.
2) а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
.
3) 
.
4) 
,
.
5) 
.
6) 
,
.
7) 
;
;
.
8) 
,
.
9) Гипотенуза:
или
.
Катет:
.
10) а) пересекаются,
;
б) параллельны,
;
в) совпадают. 11) 
12) 
13)
14) 
15) 
16) 
,
17) 
18) 
19) 
20) 
.
21) 
22) 4. 23) 9. 24) 
25) 
26) 
27) 
;
;
28) 
29) 
30) 