Министерство образования Республики Беларусь

БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра инженерной математики

Руководство

к решению задач по математике

для студентов механико-технологического факультета

(Элементы аналитической геометрии)

Часть 2

Минск 2008

удк 51(076.5)

ББК 22.1 я 7

Р 85

Авторы: О.Г. Вишневская, И.В. Прусова,

Н.К. Прихач, Н.А. Кондратьева

Под редакцией: В.А. Нифагин

Рецензент: В.И. Юринок

1. Прямые и плоскости

1.1. Прямая на плоскости

1°. Общее уравнение прямой

Теорема. В декартовой прямоугольной системе координат О х у на плоскости любая прямая может быть задана уравнением первой степени относительно х и у:

, (1.1)

где А, В, С – некоторые действительные числа, причем , и обратно, всякое уравнение вида (1.1) определяет прямую.

Всякий ненулевой вектор , перпендикулярный к прямой (1.1), называется нормальным вектором прямой. Уравнение (1.1) называется общим уравнением прямой с нормальным вектором .

Возможны частные случаи.

1) . Прямая проходит через начало координат.

2) . Прямая (или ) параллельна оси .

3) . Прямая (или ) параллельна оси .

4) . Прямая (или ) совпадает с осью .

5) . Прямая (или ) совпадает с осью .

Если прямая l проходит через заданную точку перпендикулярно данному ненулевому вектору , то уравнение прямой будет иметь вид

. (1.2)

Уравнение (1.2) называется уравнением прямой с нормальным вектором и проходящей через заданную точку .

2°. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Если в общем уравнении (1.1) прямой , то его можно разрешить относительно у и представить в виде

, (1.3)

где .

Уравнение (1.3) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k, где .

Угол α , отсчитываемый от положительного направления оси до прямой против хода часовой стрелки, называется углом наклона прямой, число определяет величину отрезка, отсекаемого прямой на оси .

Если прямая (1.3) проходит через точку , т. е. , то, вычтя это равенство из (1.3), получим уравнение

, (1.4)

называемое уравнением прямой с угловым коэффициентом , проходящей через заданную точку .

3°. Уравнение прямой, проходящей через две точки

Если прямая проходит через две точки и , подставив их координаты в уравнение (1.4) и выразив , получим уравнение прямой, проходящей через точки М₁ и М₂:

, (1.5)

.

4°. Уравнение прямой в отрезках

Если в общем уравнении прямой (1.1) , то, разделив все его члены на , получим уравнение вида:

, (1.6)

где . Уравнение (1.6) называется уравнением прямой в отрезках, где а и – длины отрезков, отсекаемых прямой на осях и , взятые с соответствующими знаками (в зависимости от того, положительные или отрицательные полуоси координат пересекает прямая).