3. Метод стокса

Для нахождения коэффициента динамической вязкости Дж. Стокс предложил метод, основанный на измерении скорости равномерно падаю­щего в жидкости тела. Рассмотрим шарик, движущийся по вертикали в столбе жидкости (рис. 2). На шарик действуют три силы:

1) Сила тяжести Р=mg. Выражая массу m через плотность ρ и объём V шарика, получим:

m=ρV

(3)

тогда: P=ρVg

где V=4/3πr³, g - ускорение силы тяжести;

2) Выталкивающая сила (сила Архимеда). Согласно закону Архи­меда выталкивающая сила равна весу вытесненной жидкости:

F_A= -ρ_oVg (4)

где ρ_o - плотность жидкости, знак "-" означает, что сила направ­лена вверх. (В качестве положительного направления вертикальной оси Z, на которую мы проецируем силы, выбрано направление "вниз");

3) сила сопротивления среды (сила Стокса)

F_c= -6πηrυ (5)

Здесь знак "-" означает, что сила Стокса направлена противополож­но υ. Результирующая сила F_r равна:

F_r=(ρ - ρ_o)Vg - 6πηrυ (6)

Уравнение, описывающее движение шарика, получается из второго зако­на Ньютона:

F_r=mā

и, следовательно,

ρVdυ/dt=(ρ - ρ_o)Vg - 6πηrυ (7)

Найти зависимость скорости шарика от времени можно, решив это диффе­ренциальное уравнение. Преобразуем его к следующему виду:

ρVdυ/(ρ - ρo)Vg - 6πηrυ=dt (8)

Затем, умножим левую и правую части на -6πηr/ρV, получим

dυ/(ρ - ρ_o)Vg/6πηr= -6πηr/ρV∙dt (9)

Проинтегрируем обе части:

Ln(υ - (ρ - ρ_o)Vg/6πηr)= -6πηr/ρV∙t+const (10)

Затем пропотенцируем:

υ - (ρ - ρ_o)Vg/6πηr=const∙e^{-6πηr/ρV∙t} (11)

Величина const зависит от начальной скорости шарика υ при t=0 (рис.2).

Падение тела в жидкости

Рис.2

Функция e^{-6πηr/ρV∙t} очень быстро убывает с ростом времени t. Поэтому независимо от начальной скорости через время t >Vg/6πηr шарик будет двигаться с практически постоянной скоростью. Из формулы (11) следует:

υ_о=(ρ - ρ_o)Vg/6πηr (12)

Измерив установившуюся скорость и зная ρ, ρ_o, r, V, можно найти коэффициент динамической вязкости по формуле:

η=(ρ - ρ_o)Vg/6πrυ_о=²/₉∙(ρ - ρ_o)gr²/ υ_о (13)

4. Безопасность труда

Надо помнить, что глицерин в смеси с марганцовокислым калием образует взрывоопасную смесь. Касторовое масло и глицерин относятся к горючим жидкостям, опасно приближение огня.

В работе используют стеклянные сосуды. При выполнении работы надо быть осторожным со стеклом.