Завдання для виконання індивідуальної роботи

№ варіанта	За допомогою циклічних обчислень вирішити рівняння
1	,.
2	,.
3	,.
4	,.
5	,.
6	,.
7	,.
8	,.
9	,.
10	,.

Моделювання ризиків в системах менеджменту

Імітаційне моделювання, принципи, головні визначення

Вказуючи, що дана модель імітаційна, ми звичайно підкреслюємо, що на відміну від інших типів абстрактних моделей, у цій моделі збережені такі риси модельованого об'єкта як структура, зв'язки між компонентами, спосіб передачі інформації. З імітаційними моделями також звичайно зв’язують і вимогу ілюстрації їх поводження за допомогою прийнятих у даній прикладній області графічних образів. Імітаційними звичайно називають моделі підприємств, екологічні і соціальні моделі. Імітаційну модель можна розглядати як спеціальну форму математичної моделі, в якій:

• декомпозиція системи на компоненти виконується з урахуванням структури проектованого чи досліджуваного об'єкта;

• як закони поводження можуть використовуватися експериментальні дані, отримані в результаті натурних експериментів;

• поводження системи в часі ілюструється заданими динамічними образами.

Імітаційне моделювання на комп’ютері є одним з результативних засобів дослідження, зокрема, складних систем і дає можливість проводити обчислювальні експерименти з проектованими системами і вивчати системи, натурні експерименти з якими через питання безпеки чи складностей фінансування недоцільні. У той же час, завдяки своїй близькості за формою до фізичного моделювання, цей метод дослідження доступний більш широкому колу користувачів.

Процес отримання оптимального управлінського рішення методами адаптивного-імітаційного моделювання має циклічний характер і складається з декількох етапів: формулювання комплексу задач дослідження, побудова концептуальної моделі.

Формулювання комплексу задач дослідження. Особливістю імітаційного моделювання є зняття вимоги одиничності цільового функціонала і можливість приєднати до головної мети, наприклад, досягнення найменшої собівартості виробництва продукції, додаткові вимоги, що будуть обов'язково враховуватися при пошуку оптимального плану керування виробництвом, такі як надійність цього плану.

Побудова концептуальної моделі об’єкта припускає вивчення системних властивостей об’єкта, взаємозв'язків між його елементами і середовищем, структуризацію і виділення підсистем. Концептуальна модель дуже важлива для дослідницьких задач, у ній повинне міститися гіпотетичне представлення про природу взаємозв’язків в об’єкті, що має бути або підтверджено, або спростоване з чітким розмежуванням беззаперечних моментів і дослідницьких гіпотез, що можуть бути уточнені в процесі експериментів.

Визначення структури і вимог до моделюючої програми. Структура і вимоги до програми визначають хід і виконання наступних етапів реалізації досліджень. Здебільшого ці вимоги можуть бути розбиті на три групи відповідно до трьох цільових установок.

Перша частина вимог випливає з цілей дослідження і спрямована на результати роботи програм. Вона встановлює перелік характеристик стану чи системи, їхніх похідних інтегральних параметрів, що повинні контролюватися експериментатором у процесі моделювання при різних режимах. При першому прогоні - розширений набір характеристик, що дозволяє проконтролювати правильність ходу експерименту, переконатися в адаптивності модельованого процесу, нехай навіть із утратою часу на здійснення контролю. Надалі даний вид контролю повинен бути відключений для збільшення швидкодії.

Друга частина вимог визначається призначенням результатів роботи програми. У залежності від цілей ці результати повинні перетворюватися або в графічний вигляд (для остаточних результатів), або перетворюватися у відповідний формат вхідної інформації (для передачі іншим блокам моделі, особливо, якщо вони використовують різні мови програмування).

Третя частина вимог містить обмеження за часом для роботи як усієї програми в цілому, так і її блоків. При вимушеному перериванні роботи блоку по обмеженню часу дослідник повинний зробити висновок про неблагополуччя в постановці задачі по даному блоку і необхідності узгодження алгоритму з ресурсами часу.

Побудовою математичної моделі досліджуваної системи завершується остаточна формалізація функціонування досліджуваної системи у вигляді послідовності перетворень характеристик станів системи залежно від модельного часу. Може містити в собі будь-які перетворення дискретних систем, що можуть бути здійснені на ЕОМ.

Задачею функціонування імітаційного комплексу в інформаційних системах менеджменту є розрахунок показників економічної ефективності і надійності плану керування виробництвом при заданих значеннях змінюваних параметрів. Для моделювання на ЕОМ складної системи потрібний апарат програмування, що передбачає:

• способи організації даних, що забезпечують просте й ефективне моделювання;

• зручні засоби формалізації і відтворення динамічних властивостей модельованої системи;

• можливості імітації стохастичних систем, тобто процедури генерування й аналізу випадкових величин і часових рядів.

Другим принциповим питанням є проблема мінімальної кількості імітацій. У спеціальній літературі описані кілька різних підходів до розв’язання цієї задачі.

Технологія імітаційного моделювання в середовищі Excel

Імітаційне моделювання, як зазначалося вище, являє собою серію чисельних експериментів, покликаних одержати емпіричні оцінки ступеня впливу різних факторів (вихідних величин) на деякі залежні від них результати (показники). У загальному випадку, конкретне проведення імітаційного експерименту можна розбити на такі етапи:

1. Встановити взаємозв'язки між вихідними і вихідними показниками у вигляді математичного рівняння чи нерівності (системи рівнянь чи нерівностей).

2. Задати закони розподілу імовірностей для ключових параметрів моделі.

3. Провести комп'ютерну імітацію значень ключових параметрів моделі.

4. Розрахувати основні характеристики розподілів вихідних і вихідних показників.

5. Провести аналіз отриманих результатів і прийняти рішення.

Результати імітаційного експерименту можуть бути доповнені статистичним аналізом, а також використовуватися для побудови прогнозних моделей і сценаріїв. Здійснимо імітаційне моделювання аналізу ризиків інвестиційного проекту на підставі даних прикладу, що наведений нижче.

Приклад. Фірма розглядає інвестиційний проект по виробництву продукту "А". У процесі попереднього аналізу експертами були виявлені три ключові параметри проекту і визначені можливі межі їх змін (табл. 2). Інші параметри проекту вважаються постійними величинами (табл. 3).

Таблиця 2

Показники	Сценарій
	Найгірший	Найкращий	Ймовірний
Обсяг випуску - Q	150	300	200
Ціна за штуку - P	40	55	50
Змінні витрати - V	35	25	30

Таблиця 3

Показники	Найбільш ймовірне значення
Постійні витрати - F	500
Амортизація - A	100
Податок на прибуток - T	23%
Норма дисконту - r	10%
Термін проекту - n	5
Початкові інвестиції - I0	7000

Першим етапом аналізу, відповідно до сформульованого вище алгоритму, є визначення залежності результуючого показника від вихідних. При цьому як результуючий показник звичайно виступає один із критеріїв ефективності: NPV, IRR, PI. Припустимо, що використовуваним критерієм є чиста сучасна вартість проекту NPV: д е - величина чистого потоку платежів за період t. За умовами приклада значення норми дисконту r і первісного обсягу інвестицій I₀ відомі і вважаються постійними протягом терміну реалізації проекту (табл. 3).

З метою спрощення будемо вважати, що генерований проектом потік платежів має вигляд ануїтету. Тоді величина потоку платежів NCF для будь-якого періоду t однакова і може бути визначена з наступного співвідношення:

Наступними етапом проведення аналізу є вибір законів розподілу імовірностей ключових змінних.

За умовами приклада ключовими варійованими параметрами є: змінні витрати V, обсяг випуску Q і ціна P. Діапазони можливих змін варійованих показників наведені в табл. 2. При цьому будемо виходити з припущення, що всі ключові змінні мають рівномірний розподіл імовірностей.

Реалізація третього етапу може бути здійснена за допомогою спеціальних програмних засобів. Тому перш ніж приступити до імітаційного експерименту, ознайомимося з відповідними засобами Excel, що автоматизують його проведення.

Проведення імітаційних експериментів у середовищі Excel можна здійснити двома способами – за допомогою вбудованих функцій і шляхом використання інструмента Генерация случайных чисел додатку Анализ данных (Analysis ToolPack) на вкладці Данные в групі Анализ.

Імітаційне моделювання із застосуванням вбудованих функцій Excel. доцільно в тому випадку, коли ймовірності реалізації всіх значень випадкової величини вважаються однаковими. Тоді для імітації значень необхідної змінної можна скористатися математичними функціями СЛЧИС() чи СЛУЧМЕЖДУ().

Функція СЛЧИС() повертає рівномірно розподілене випадкове число E, 0 ≤ E < 1. Шляхом нескладних перетворень з її допомогою можна одержати будь-яке випадкове дійсне число. Наприклад, щоб одержати випадкове число між a і b, досить задати в будь-яку клітинку робочої книги Excel формулу: =СЛЧИС()*(b-a)+a .

Ця функція не має аргументів. Якщо в Excel установлений режим автоматичних обчислень, прийнятий за умовчанням, то результат, що повертається функцією, буде змінюватися кожного разу, коли відбувається введення чи корегування даних. У режимі ручних обчислень перерахування всієї робочої книги Excel здійснюється тільки після натискання клавіші F9.

В цілому застосування даної функції при розв’язанні задач фінансового аналізу та менеджменту обмежено специфічними додатками. Однак її зручно використовувати в деяких випадках для генерації значень імовірності подій, а також дійсних чисел.

Функція СЛУЧМЕЖДУ(нижня межа; верхня межа) дозволяє отримати випадкове число з заданого інтервалу. При цьому тип числа, що повертається (дійсне чи ціле) залежить від типу заданих аргументів. Як приклад, згенеруємо випадкове значення для змінної Q (обсяг випуску продукту). Згідно табл. 2, ця змінна приймає значення з діапазону 150 ÷ 300. Введіть у будь-яку клітинку робочої книги Excel формулу: =СЛУЧМЕЖДУ(150; 300). (Результат: 210).

Якщо задати аналогічні формули для змінних P і V, а також формулу для обчислення NPV і скопіювати їх необхідне число раз, можна одержати генеральну сукупність, що містить різні значення вихідних показників і отриманих результатів. Після чого, використовуючи статистичні функції, неважко розрахувати відповідні параметри розподілу і провести імовірнісний аналіз. Продемонструємо викладений підхід на розв’язку розглянутого приклада.

Підключаємо додаткові функції для аналізу наукових і фінансових даних: Файл, Параметры, Надстройки, Пакет анализа. Перейти, Добавить.Перед тим, як приступити до розробки шаблона, доцільно установити в Еxcel режим ручних обчислень. Для цього необхідно виконати такі дії: Файл, Параметры, Формулы, Параметры вычислений, Вычисления в книге вручную.

Приступаємо до розробки шаблона. Виділимо для його проведення в робочій книзі MS Excel два листи. Перший лист – Імітація, призначений для побудови генеральної сукупності (рис. 25).

Рис. 25.

Верхня частина листа (блок клітинок А1:Е7) призначена для введення діапазонів змін ключових змінних, значення яких будуть генеруватися в процесі проведення експерименту. У клiтинцi В7 задається загальне число імітацій (експериментів). Формула, задана в клiтинцi Е7, обчислює номер останнього рядка вихідного блоку, у котрий будуть поміщені отримані значення: =B7+10-1. Друга частина листа (блок клiтинок А9:Е11) призначена для проведення імітації. Формули в клiтинках А10:С11) генерують значення для відповідних змінних з урахуванням заданих в клiтинках B3:C5 діапазонів їх змін, наприклад у клітинці А10 введено формулу =СЛУЧМЕЖДУ($B$3;$C$3). Зверніть увагу на те, що при вказівці нижньої і верхньої меж змін використовується абсолютна адресація клітинок для зручності подальшого копіювання формул з використанням автозаповнення.

Формули в клітинках D10:11 обчислюють величину потоку платежів і його чисту сучасну вартість відповідно. При цьому значення постійних змінних беруться з наступного листа шаблона – Результати аналізу (рис. 26): в клітинці D10: =(B10*(C10-A10)-'Результати аналізу'!$B$3-'Результати аналізу'! $B$4)*(1-'Результати аналізу'!$D$3)+'Результати аналізу'!$B$4; в клітинці E10: =ПС('Результати аналізу'!$D$2;'Результати аналізу'!$D$4;-D10)-'Результати аналізу'!$B$2. Функція ПС(Ставка; Кпер; Плт) повертає приведену (до поточного моменту) вартість інвестиції, яка являє собою загальну суму, що на даний момент рівноцінна ряду майбутніх виплат, Ставка - відсоткова ставка за період, Кпер - число періодів платежів, Плт – виплата, що виконується в кожний період.

Лист Результати аналізу крім значень постійних змінних містить також функції, що обчислюють параметри розподілу змінюваних (Q, V, P) і результатних (NCF, NPV) змінних і ймовірності різних подій. Загальний вuгляд листа показаний на рис. 26.

Рис. 26.

Функції МИН() і МАКС() обчислюють мінімальне і максимальне значення для масиву даних із блоку клітинок, зазначеного як їх аргумент. Середнє значення знаходиться за допомогою функції =СРЗНАЧ(Імітація!A10: Імітація!A11), якщо кількість імітацій дорівнює двом. Якщо ж кількість імітацій є більшою, то потрібна формула для введення замість 11 номеру останнього рядка імітацій, зазначеного в клітинці Е7. Для створення подібної формули можливо використати функції АДРЕС і ДВССЫЛ: =СРЗНАЧ(Імітація!A10:ДВССЫЛ(АДРЕС(Імітація!$E$7;1;4;;"Імітація"))). Функція АДРЕС(Номер рядка; Номер стовпця; Тип посилання; А1; Ім’я листа) повертає адресу клітинки у вигляді тексту, використовуючи номер рядка і номер стовпця, Номер рядка – в даному випадку вказаний у клітинці Імітація!$E$7; Номер стовпця – для стовпця А це одиниця; Тип посилання – для відносної адресації 4; А1 – цей параметр для адресації типу А1 може бути пропущений; Ім’я листа – для даного прикладу Імітація). Оскільки функція АДРЕС () повертає адресу клітинки у вигляді тексту, потрібно використати функцію ДВССЫЛ(Посилання на клітинку; А1), яка повертає посилання, що задане у вигляді тексту, параметр А1 може бути пропущений для типу адресації А1.

Стандартне відхилення по виборці оцінюється з використанням функції =СТАНДОТКЛОН(Імітація!A10:Імітація!A11) або для довільної кількості імітацій =СТАНДОТКЛОН(Імітація!A10:ДВССЫЛ(АДРЕС(Імітація!$E$7;1;4;; "Імітація"))).

Коефіцієнт варіації знаходиться як відношення стандартного відхилення до середнього значення.

Функція СЧЕТЕСЛИ() здійснює підрахунок кількості клітинок у зазначеному блоці, значення яких задовольняють заданій умові. Функція має наступний формат: =СЧЕТЕСЛИ(блок; “умова”). У даному випадку, задана в клiтинцi F13, ця функція здійснює підрахунок кількості негативних значень NPV, що містяться в блоці клiтинок NPV_t (див. рис. 25).

Механізм дії функції СУММЕСЛИ() аналогічний функції СЧЕТЕСЛИ(). Відмінність полягає лише в тому, що ця функція підсумовує значення клiтинок у зазначеному блоці, якщо вони задовольняють заданій умові. Функція має такий формат: =СУММЕСЛИ(блок; "умова"), наприклад, в клітинці F14: =СУММЕСЛИ(Імітація!$E$10:ДВССЫЛ(АДРЕС(Імітація!$E$7;5;4;;"Імітація"));"<0").

Дві останні формули (клiтинки Е18 і F18) призначені для ймовірнісного аналізу розподілу NPV_t. У розглянутому прикладі ми виходимо з припущення про незалежність і рівномірний розподіл ключових змінних Q, V, P. Однак, який розподіл при цьому буде мати результатна величина – показник NPV_t, заздалегідь визначити не можна.

Одне з можливих рішень цієї проблеми – спробувати апроксимувати невідомий розподіл якимсь відомим. При цьому, як наближення найзручніше використовувати нормальний розподіл. Це пов'язано з тим, що відповідно до центральної граничної теореми теорії ймовірностей при виконанні визначених умов сума великого числа випадкових величин має розподіл, що приблизно відповідає нормальному. У прикладному аналізі для цілей апроксимації широко застосовується окремий випадок нормального розподілу – стандартний нормальний розподіл. Математичне очікування стандартно розподіленої випадкової величини Е дорівнює 0: M(E) = 0. Графік цього розподілу симетричний щодо осі ординат, стандартний нормальний розподіл характеризується одним параметром – стандартним відхиленням s, рівним 1.

Приведення випадкової змінної E до стандартно розподіленої величини Z здійснюється за допомогою нормалізації. Величина Z виражається в кількості стандартних відхилень. Для обчислення ймовірностей за значенням нормалізованої величини Z використовуються статистичні функції НОРМАЛИЗАЦИЯ() і НОРМСТРАСП().

Функція НОРМАЛИЗАЦИЯ(x; середнє; стандартне відхилення) повертає нормалізоване значення Z величини x, на підставі якого потім обчислюється шукана імовірність p(E < x). Функція вимагає завдання трьох аргументів: х – значення, що нормалізується; середнє – математичне чекання випадкової величини Е і стандартне відхилення. Отримане значення Z є аргументом для наступної функції – НОРМСТРАСП().

Функція НОРМСТРАСП(Z). Ця функція повертає стандартний нормальний розподіл, тобто імовірність того, що випадкова нормалізована величина Е буде менше чи дорівнює х. Вона має всього один аргумент – Z, що обчислюється функцією НОРМАЛИЗАЦИЯ(). Неважко помітити, що ці функції варто використовувати разом. При цьому найбільш ефективним і компактним способом їхнього завдання є використання функції НОРМАЛИЗАЦИЯ() як аргумент функції – НОРМСТРАСП(), тобто: