§11. Линейные преобразования, §12. Квадратичные формы.

1. В пространстве R² линейное преобразование задано матрицей в базисе ,.

Найти образ вектора = 4 – 3.

2. В пространстве R² линейное преобразование задано матрицей в базисе ,.

Найти образ вектора = 3 +5.

3. В пространстве R³ линейное преобразование задано матрицей в базисе ,,.

Найти образ вектора = 2 +4 – .

4. В пространстве R³ линейное преобразование задано матрицей в базисе ,,.

Найти образ вектора = 3 – 2 + .

5. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования с матрицей A =

6. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования с матрицей A =

7. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования A, матрица линейного преобразования A = .

8. Квадратичную форму записать в матричном виде:

1) ; 3)

2) ;

9. Исследовать на знакоопределенность и привести к каноническому виду квадратичные формы:

1) ; 3) ;

2) ; 4)

III. Аналитическая геометрия.

§13. Простейшие задачи на плоскости.

1. Найти расстояние между точками:

1) А(4; −5) и В(7;−1);

2) А(−3; 9) и В(3; 1).

2. Найти периметр треугольника АВС, если А(2;3), В(5;7), С(6;5).

3. Найти координаты точки С – середины отрезка, соединяющего точки А и В, если:

1) А(−2;4) и В(−4;10);

2) А(− 7;5) и В(11;−9).

4. Найти координаты конца В отрезка АВ, если известны координаты точки А и С – середины отрезка АВ:

1) А(−7;−5), С(−9;−12);

2) А(−4; 2) и С(−6;5).

5. Точки А(2;4), В(−3;7) и С(−6;6) – три вершины параллелограмма, причем А и С – противоположные вершины. Найти координаты четвертой вершины.

6. Точки А(−6;−4), В(−4;8) и С(−1;5) – три вершины параллелограмма, причем А и С – противоположные вершины. Найти координаты четвертой вершины.

7. Найти координаты точки С, делящей отрезок АВ в отношении λ, если:

1) А(2;5), В(4;9), λ=1/3;

2) А(−6;10), В(−2;−6), λ=2.

8. Определить площадь треугольника АВС, если даны координаты его вершин:

1) А(2;−3), В(1;1), С(−6;5);

2) А(−2;4), В(−6;8), С(5;−6).

9. Доказать, что точки А(1;8), В(−2;−7), С(−4;−17) лежат на одной прямой.

(Если три точки А, В и С лежат на одной прямой, то площадь треугольника АВС должна быть равна нулю).

§14. Уравнение прямой на плоскости.

1. Построить прямые:

1) х + 2у − 4 =0; 2) 2х − 3у + 6 = 0;

3) у= 3х + 2; 4) у = − 2х;

5) 2х + 3у = 0; 6);

7); 8);

9) у=2; 10) х + 3 = 0.

2. Составить уравнение прямой, проходящей через точки:

1) А(3;1) и В(5;4);

2) А(3;1) и С(3;5).

3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(2;3):

1) параллельно оси Ох;

2) параллельно оси Оу;

3) составляющей с осью Ох угол 45^о.

4.1. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(2;5), параллельно прямой 3х − 4у +15 =0.

4.2. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(5;−1), перпендикулярно прямой 3х − 7у +14 =0.

5. Составить уравнения прямой, проходящей через точку пересечения прямых 2х − 3у + 1 = 0 и 3х − у − 2 = 0:

1) параллельно прямой у = х + 1

2) перпендикулярно прямой у = 2х − 5.

7. Под каким углом прямая у=х+2 пересекает ось Ох?

8. Под каким углом прямая у=2х+3 пересекает ось Ох?

9. Найти угол между двумя прямыми:

1) у = 2х + 4 и у = 3х − 1;

2) у = − 2х + 3 и у = 3х +5;

3) 3х + 4у − 7 = 0 и 4х − 3у + 8 = 0.

10. Найти расстояние от точки А до прямой l, если

1) А(2;5), l: 6х + 8у − 5 = 0;

2) А(3;−1), l: 3х + 5у + 8 = 0.

11. Найти расстояние между двумя параллельными прямыми

1) 3х +4у − 12 = 0 и х +2у +1 = 0;

2) х +у − 2 = 0 и х +у +12 = 0.

12. Найти длину и уравнение высоты BD в треугольнике с вершинами А(−3;0), В(2;5), С(3;2).

13. Две стороны параллелограмма заданы уравнениями у=х −2 и х−5у+6=0. Диагонали его пересекаются в начале координат. Найти уравнения двух других сторон параллелограмма и его диагоналей.

Индивидуальное задание №3 по теме: «Аналитическая геометрия на плоскости»

Даны координаты вершин треугольника АВС. Найти:

1. длину стороны АВ;

2. уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;

3. угол АВС данного треугольника;

4. уравнение медианы АЕ;

5. уравнение и длину высоты СD;

6. уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне АВ и точку М ее пересечения с высотой CD;

7. координаты точки Р, расположенной симметрично точке а относительно прямой CD.

1. А(1; −1), В(4;3), С(5;1).

2. А(0; −1), В(3;3), С(4;1).

3. А(1; −2), В(4;2), С(5;0).

4. А(2; −2), В(5;2), С(6;0).

5. А(0; 0), В(3;4), С(4;2).

6. А(0; 1), В(3;5), С(4;3).

7. А(3; −2), В(6;2), С(7;0).

8. А(3; −3), В(6;1), С(7;−1).

9. А(−1; 1), В(2;5), С(3;3).

10. А(4; 0), В(7;4), С(8;2).

11. А(2; 2), В(5;6), С(6;4).

12. А(4; −2), В(7;2), С(8;0).

13. А(0; 2), В(3;6), С(4;4).

14. А(4; 1), В(7;5), С(8;3).

15. А(3; 2), В(6;6), С(7;4).

16. А(− 2; 1), В(1;5), С(2;3).

17. А(4; −3), В(7;1), С(8;−1).

18. А(−2; 2), В(1;6), С(2;4).

19. А(5; 0), В(8;4), С(9;2).

20. А(2; 3), В(5;7), С(6;5).

21. А(1; −1), В(4;3), С(5;1).

22. А(−2; 0), В(2;4), С(4;0).

23. А(2; −1), В(−1;3), С(2;4).

24. А(−5; 0), В(7;9), С(5;−5).

25. А(1; −1), В(3;5), С(−7;11).

26. А(− 8; −3), В(4;− 12), С(8;10).

27. А(−5;7), В(7;−2), С(11;20).

28. А(−12; −1), В(0;−10), С(4;12).

29. А(−10; 9), В(2;0), С(6;22).

30. А(0;2), В(12;−7), С(16;15).