Министерство образования Российской Федерации

Волгоградский государственный университет

Факультет математики и информационных технологий

Кафедра математического анализа и теории функций

Сборник задач по математике

(1 семестр, часть 1)

Е.В. Бондарева

Для студентов специальностей

020400 «География»,

020800 «Экология и природопользование».

Волгоград 2011

©

I. Линейная алгебра

§ 1. Матрицы. Действия над матрицами

1. Даны матрицы: и .

Найти:

1. А±В;

2. 5А − 7В;

3. АВ и ВА.

2. Даны матрицы: и .

Найти:

1. 5А − 2В;

2. 2А + 3В;

3. АВ и ВА.

3. Найти произведения матриц АВ и ВА, если

и .

5. Даны матрицы и .

Найти произведение АВ.

6. Даны матрицы: и . Доказать, что АВ ≠ ВА.

7. Дана матрица . Найти А².

8. Найти матрицу D=(AB)^T − С², если

; ; .

9. Найти матрицу АВС, если

; ; .

10. Вычислить А³, если

11. Даны матрицы А и В:

− матрица коэффициентов прямых затрат производства,

−матрица коэффициентов полных затрат производства.

Найти матрицу косвенных затрат.

12. Предприятие производит продукцию трех видов и использует сырье двух типов. Нормы затрат сырья на единицу продукции каждого вида заданы матрицей . Стоимость единицы сырья каждого типа задана матрицей . Каковы общие затраты предприятия на производство 100 единиц продукции первого вида, 200 единиц продукции второго вида и 150 единиц продукции третьего вида? (Ответ 28 000).

§ 2. Определители.

1. Вычислить определители второго порядка:

1) ; 2) .

2. Вычислить определители третьего порядка, используя правило треугольников:

1) ; 2) .

3. Вычислить определители с использованием свойств определителя:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

4. Вычислить определители:

1);2) ; 3) ; 4) ;

5) .

5. Найти сумму + .

6. Доказать, что = 5 .

7. Найти сумму + .

8. Найти отношение : .

§3. Обратная матрица.

1. Вычислить матрицу, обратную к матрице А, если

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6)

Сделать проверку

2. При каких значениях λ матрица А не имеет обратной

1) ; 2)

3. Вычислить матрицу В = 11 · (А^-1)^Т + А^Т , где

.

4. А − матрица коэффициентов прямых затрат производства

Найти матрицу коэффициентов полных затрат производства, используя формулу S = (E − А)⁻¹

§4. Ранг матрицы.

1. Найти ранги матриц:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

§5. Системы линейных уравнений.

1. Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы:

1) 2)

2. Решить матричные уравнения:

1) ; 2) ;

3) АХВ=С, если , ,

3. Решить систему по формулам Крамера:

1) 2)

3) 4)

4. Решить систему методом Гаусса:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

5. Исследовать систему уравнений и решить ее в случае совместности:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

Индивидуальное задание №1 по теме: «Решение систем линейных уравнений»

Решить систему уравнений:

1. Методом обратной матрицы;

2. По формулам Крамера.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

23.

24.

25.

26.

27.

20. 28.

21. 29.

22 30.