II. Элементы векторной алгебры

§6. Векторы. Линейные операции над векторами (задачи на построение)

1. Даны произвольные векторы и . Построить векторы:

1) + ;

2) − ;

3) − − .

2. Даны произвольные векторы _, и . Построить векторы:

1) + +;

2) + − ;

3) − + ;

4) − − .

3. Пользуясь параллелограммом, построенном на векторах и , проверить на чертеже справедливость тождеств:

1) ( + ) + ( − ) = 2; 2) ( + ) − ( − ) = 2;

3) +( − ) = .

4. Даны векторы , и . Построить векторы:

1) 2 − ;

2) 3 − ;

3) + − 4;

4) −

5. Векторы и взаимно перпендикулярны, причем =5, =12. Определить

1) | + |;

2) | − |.

6. Вычислить модули векторов:

1) = 2− 10+ 11;

2) = + 2− 2;

3) = 2− 5.

7. Найти длину вектора , если А (1; 2; −3) и В (3; −1; 0)

8. Дан вектор =7−+5. Определить координаты точки В, если А (−2;1;0).

9. Дано = +2 − 3. Определить координаты точки А, если В (1; −1; 5).

10. Вычислить направляющие косинусы для векторов:

1) = 3− 4+ 5;

2) = 12− 3 − 4.

11. Вектор составляет с осями координат равные острые углы. Определить эти углы.

§7. Скалярное произведение векторов. Проекция вектора на заданное направление.

1. Вычислить скалярное произведение векторов и , если:

1) = 2− 3+ 4; = 3− − 2;

2) = − − 5; = 4+ 2 +;

3) = 2+ 3+ 4; = −2 + 4− 2.

2. Определить угол между векторами и , если:

1) = 2+− 4; = − 2+ 2;

2) = + ; = + 2 − 2;

3) = – 2+2; = – +.

3. Показать, что вектор = 3+2+5 перпендикулярен вектору = 2− 3.

4. Даны координаты вершин треугольника в пространстве: А (−1; 2; 3); В (1; 1; 1); С (0; 0; 5) . Показать, что треугольник АВС – прямоугольный.

5. Найти угол между векторами и , если:

А (5; −2; 3); В (7; −4; 4); С (0; −1; 2); М (4; 3; 6).

6. Определить, при каком значении m векторы

= m− 3+ 2 и = + 2−m взаимно перпендикулярны.

7. Даны векторы и . Определить и если:

1) = +− 2; = − + 3;

2) = ++ 2; = − + 4.

8. Найти проекцию вектора на вектор , если:

1) А (3; 1; 0); В (0; −2; 6); С (3; −2; 0); М (1; −2; 4);

2) А (− 2; 3; 4); В (2; 2; 5); С (1; −1; 2); М (3; 2; −4).

§8. Векторное произведение векторов.

1. Дано: =3, =8. Найти векторное произведение , если угол φ между векторами равен:

1) 0; 2) 30^о; 3) 90^о; 4) 120^о; 5) 150^о.

2. Упростить выражения:

1) ; 2)

1) ; 2)

3. Найти векторное произведение для следующих пар векторов:

1) ; 2) ;

3) ; 2) .

4. Найти вектор , если

1) = 2; =3; 2) = +; = − 2;

1) =3+; = +4; 2) = – ++ ; = +2.

Вычислить в каждом случае площадь параллелограмма, построенного на векторах .

5. Вычислить площадь треугольника с вершинами:

1) А (2; 2; 2); В (1; 3; 3); С(3; 4; 2);

2) А (– 3; – 2; – 4); В (– 1; – 4; – 7); С(1; – 2; 2);

6. Найти орт , перпендикулярный векторам:

1) ; 2) ;

7. Дан треугольник с вершинами А (9; – 9; 13); В (7; – 13; 17); С(17; – 3; 17). Найти длину высоты, проведенной из вершины С.

8. Дано: =5, =2, =6. Найти .

9. Дано: =10, =2, =16. Найти .