§9. Смешанное произведение векторов.

1. Найти смешанное произведение векторов , если:

1) =(1; 1; 2); =(1; –2; 3); =(2; 1; 1); 2) =(5;– 2; –1); =(1; –2; 1); =(1; 2; – 2);

3) =(1; 1; 4); =(2; –1; – 1); =(1; 3; –1).

2. Доказать, что векторы компланарны, если:

1) =(1; 1; 3); =(0; 2; – 1); =(1; – 1; 4); 2) =(1; 2; 2); =(2; 5; 7); =(1; 1; –1);

3) =(1; – 1; 2); =(3; 5; 0); =(5; 3; 4).

3. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках

1) А (–1; 1; 0); В (2; – 2; 1); С(3; 1; –1); D(1; 0; –2);

2) А (–4; – 4; – 3); В (– 2; –1; 1); С(2; – 2; –1); D(– 1; 3; –2)

4. Показать, что точки А (3; 5; – 4); В (1; –1; – 3); С(7; 2; –6); D(– 1; 3; –2)

принадлежат одной плоскости.

5. Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах =(3; 2; 1); =(1; 0; – 1); =(1; –2; 1);

§10. Линейные пространства.

1. Выяснить, являются ли векторы а₁, а₂, а₃ линейно зависимыми:

1) а₁= (2; −1; 3), а₂ = (1; 4; −1), а₃= (0; −9; 5);

2) а₁= (1; 2; 0), а₂ = (3; −1; 1), а₃= (0; 1; 1).

2. Показать, что векторы а₁= (8; 5; 9; 1), а₂ = (1; −3; –6; –3), а₃= (3; –1; 5; 2), а₄= (0; 2; –1; 4), заданные в базисе е₁, е₂, е₃, сами образуют базис.

3. Даны векторы а = е₁ + е₂ + е₃, b = 2е₂ + 3е₃, c = е₂ + 5е₃, где е₁, е₂, е₃ базис линейного пространства. Доказать, что векторы a, b, c образуют базис. Найти координаты вектора d = 2е₁ − е₂ + е₃ в базисе a, b, c.

4. Даны векторы а₁, а₂, а₃, b. Показать, что векторы а₁, а₂, а₃ образуют базис трехмерного пространства, и найти координаты вектора b в этом базисе, если:

1) а₁= (4; 3; 2), а₂ = (−3; 2; −1), а₃ = (2; 3; 1), b=(16; 8; 7);

2) а₁= (−1; 2; 0), а₂ = (2; 4; 2), а₃ = (−3; −1; 3), b=(−8; 0; 4).

5. Даны векторы а₁, а₂, а₃, а₄, b. Показать, что векторы а₁, а₂, а₃, а₄ образуют базис четырехмерного пространства, и найти координаты вектора b в этом базисе, если:

1) а₁=(–1; 2; 3; 1), а₂=(–1; 3;−2; –1), а₃=(3; 5; 4; 1), а₄=(3;1;4;–1), b=(0; 3; 5; 4);

2) а₁=(1; 2; 1; 3), а₂ =(1;–1;–1;–1), а₃=(–1; 3; 0;1), а₄ =(1;– 2; 2;–1), b=(4; 1; 6; 0).

Индивидуальное задание №2 по теме: «Элементы векторной алгебры»

Задание №1. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Требуется:

1. Записать векторы , , в системе орт ,, и найти модули этих векторов;

2. Найти угол между векторами и ;

3. Найти проекцию вектора на вектор ;

4. Найти площадь грани АВС;

5. Найти объем пирамиды АВСD.

1. А(1; 2; 1), В( – 1; 5; 1), С( – 1; 2; 7), D (1; 5; 9).

2. А(2; 3; 2), В(0; 6; 2), С(0; 3; 8), D (2; 6; 10).

3. А(0; 3; 2), В( –2; 6; 2), С( – 2; 3; 8), D (0; 6; 10).

4. А(2; 1; 2), В(0; 4; 2), С( 0; 1; 8), D (2; 4; 10).

5. А(2; 3; 0), В( 0; 6; 0), С(0; 3; 6), D (2; 6; 8).

6. А(2; 2; 1), В(0; 5; 1), С(0; 2; 7), D (2; 5; 9).

7. А(1; 3; 1), В( – 1; 6; 1), С( – 1; 3; 7), D (1; 6; 9).

8. А(1; 2; 2), В( – 1; 5; 2), С( – 1; 2; 8), D (1; 5; 10).

9. А(2; 3; 1), В(0; 6; 1), С( 0; 3; 7), D (2; 6; 9).

10. А(2; 2; 2), В(0; 5; 2), С( 0; 2; 8), D (2; 5; 10).

11. А(1; 3; 2), В( – 1; 6; 2), С( – 1; 3; 8), D (1; 6; 10).

12. А(0; 1; 2), В( – 2; 4; 2), С( – 2; 1; 8), D (0; 4; 10).

13. А(0; 3; 0), В( – 2; 6; 0), С( – 2; 3; 6), D (0; 6; 8).

14. А(2; 1; 0), В( 0; 4; 0), С( 0; 1; 6), D (2; 4; 8).

15. А(0; 2; 1), В( – 2; 5; 1), С( – 2; 2; 7), D (0; 5; 9).

16. А(1; 1; 1), В( – 1; 4; 1), С( – 1; 1; 7), D (1; 4; 9).

17. А(1; 2; 0), В( – 1; 5; 0), С( – 1; 2; 6), D (1; 5; 8).

18. А(0; 1; 0), В( – 2; 4; 0), С( – 2; 1; 6), D (0; 4; 8).

19. А(0; 1; 1), В( – 2; 4; 1), С( – 2; 1; 7), D (1; 4; 9).

20. А(0; 2; 0), В( – 2; 5; 0), С( – 2; 2; 6), D (0; 5; 8).

21. А(4; 2; 5), В(0; 7; 2), С( 0; 2; 7), D (1; 5; 0).

22. А(4; 4; 10), В(4; 10; 2), С(2; 8; 4), D (9; 6; 4).

23. А(4; 6; 5), В(6; 9; 4), С(2; 10; 10), D (7; 5; 9).

24. А(3; 5; 4), В(8; 7; 4), С(5; 10; 4), D (4; 7; 8).

25. А(10; 6; 6), В( – 2; 8; 2), С(6; 8; 9), D (7; 10; 3).

26. А(1; 8; 2), В(5; 2; 6), С(5; 7; 4), D (4; 10; 9).

27. А(6; 6; 5), В(4; 9; 5), С(4; 6; 11), D (6; 9; 3).

28. А(7; 2; 2), В(5; 7; 7), С(5; 3; 1), D (2; 3; 7).

29. А(8; 6; 4), В(10; 5; 5), С(5; 6; 8), D (8; 10; 7).

30. А(7; 7; 3), В(6; 5; 8), С(3; 5; 8), D (8; 4; 1).

Задание №2 Даны векторы , , , . Показать, что векторы , , образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе.

1. =(2;1;3), =(3; −2;1), =(1; −3; −4), =(7;0;7).

2. =(5;3;1), =(−2; −1;2), =(−2;1; 4), =(3;0;1).

3. =(1;3;5), =(−2;−1;−1), =(4; −2;4), =(−7;3;−1).

4. =(3;1;6), =(−2; 2;−3), =(−4; 5; −1), =(3;0;1).

5. =(4;1;4), =(−2; −1;1), =(3;1; 5), =(− 3;−2;1).

6. =(1;2;5), =(2; −3;4), =(1; −1; −2), =(3;0;1).

7. =(5;1;2), =(3; 4;−1), =(−4; 2; 1), =(−3;5;4).

8. =(2;1;5), =(−4; 3;5), =(1; −1; −4), =(4;−1;−3).

9. =(3;1;4), =(−4;2;3), =(2;−1;−2), =(7;−1;0).

10. =(1;4;2), =(5;−2;−3), =(−2;−1;1), =(−3;2;4).

11. =(1;3;1), =(1; 2;−1), =(−3; 2;5), =(0;−1;−2).

12. =(3;1;5), =(−2;3;−2), =(−1; 2; 4), =(−5;2;−7).

13. =(2;1;4), =(3; 1;5), =(1; −4;−3), =(1;0;1).

14. =(1;4;2), =(−4; 1;3), =(2;−3;4), =(−5;−3;1).

15. =(2;1;3), =(4; 1;−2), =(−3;2;1), =(2;0;−5).

16. =(1;2;4), =(2; −3;1), =(−3; −1; −2), =(1;−7;0).

17. =(3;1;5), =(−1; 2;3), =(4; 3; 2), =(2;7;8).

18. =(3;2;1), =(−3;1;−2), =(2;3;5), =(−4;−1;1).

19. =(4;3;2), =(−1; 2;−2), =(3;4;4), =(1;8;0).

20. =(2;1;4), =(−1;−2;3), =(3; −5; −2), =(1;−9;4).

21. =(5;1;2), =(8;2;−3), =(−1;3;2), =(−7;1;9).

22. =(1;3;2), =(2; −5;7), =(1;3;−1), =(4;1;8).

23. =(3;2;2), =(2;3;1), =(1; 1; 3), =(5;1;11).

24. =(1;5;3), =(2;1;−1), =(4;2;1), =(31;29;10).

25. =(4;2;5), =(−3;5;6), =(2;−3;−2), =(9;4;18).

26. =(2;3;3), =(−1;4;−2), =(−1;−2;4), =(4;11;11).

27. =(1;2;4), =(1;−1;1), =(2;2;4), =(−1;−4;−2).

28. =(3;−2;2), =(−1;1;−1), =(0;1;4), =(5;0;15).

29. =(3;2;1), =(−1;−5;1), =(1;−3;−1), =(4;−17;0).

30. =(1;2;3), =(1;−1;−2), =(1;−6;0), =(−1;8;3).