Практическая работа № 3: комбинаторика
-
Краткие сведения из теории
Размещения.
Имеется множество, состоящее из
элементов произвольной природы. Из
них образуется группа, содержащая k
элементов. При этом две группы,
составленные из одних и тех же элементов,
считаются различными, если внутри группы
разный порядок расположения элементов.
Группы, которые отличаются друг от друга
не только элементами, входящими в группу,
но и порядком их расположения внутри
группы, называются размещениями. Число
размещений обозначается символом
(читается: «число размещений из
элементов по
элементам»). Нижний индекс
число
всех элементов, из которых можно
составлять группу. Верхний индекс
число
элементов, из которых составлена группа.
Доказывается, что число размещений из
элементов по
элементам находится по формуле
(1)
Например,
,
и так далее…
Перестановки.
Если размещение создается сразу из всех
элементов, то такое размещение называется
перестановкой. Число перестановок из
элементов обозначается символом
и находится по формуле
.
(2)
Величина
(читается:
факториал)
помимо комбинаторики используется во
многих разделах математики. Полагают
по определения, что
.
Затем, используя определение, находим:
и так далее…
Сочетания.
Группы, которые отличаются друг от друга
только элементами, входящими в группу,
но не порядком элементов внутри группы,
называются сочетаниями. Число сочетаний
из
элементов по
элементам обозначается символом
и находится по любой из двух формул
,
(3)
.
(4)
Формулу (3) удобно
использовать для небольших
;
в остальных случаях лучше использовать
формулу (4).
Сочетания обладают рядом свойств, которые используются для решения задач. Отметим некоторые из этих свойств:
Правила суммы и произведения. Для определения количества всевозможных комбинаций элементов часто используются два основных правила – правило суммы и правило произведения.
Правило суммы. Если все группы элементов можно разбить на несколько классов, причем каждая группа входит только в один класс, то общее число групп равно их сумме по всем классам.
Правило
произведения. Если одну часть группы
можно составить
способами, а вторую -
способами, то всю группу можно составить
способами. Если комбинаторная группа
разбивается на s частей, и эти части
можно составить
способами соответственно, то всю группу
можно составить
способами.
Бином Ньютона. Формула бинома Ньютона имеет вид
(5)
Величины
называются биномиальными коэффициентами.
Используя
формулу бинома Ньютона (5) при
,
получим известную формулу квадрата
суммы двух слагаемых.
При
формула (5) дает другую известную формулу
Рассмотрим
еще один важный частный случай формулы
(5) при
.
Имеем
После преобразования получим формулу
Размещения с повторениями. До сих пор мы рассматривали комбинаторные группы, составленные из различных элементов. Если же некоторые элементы в комбинаторной группе одинаковы, то число групп уменьшается, потому что некоторые группы окажутся одинаковыми и по составу элементов, и по их расположению друг относительно друга. В таких случаях говорят о размещениях, перестановках, сочетаниях с повторениями.
Имеется
различных типов элементов (общее
количество элементов нас сейчас не
интересует). Из них составляются
размещения, содержащие
элементов, причем в размещениях могут
встречаться элементы одного и того же
типа. Такие размещения называются
размещениями с повторениями. Их число
обозначается символом
и находится по формуле
.
(6)
Перестановки
с повторениями. Имеется
различных типов элементов, причем
элементов первого типа,
элементов второго типа, . . .,
элементов
го
типа (всего
элементов). Перестановки, составленные
из этих элементов, называются перестановками
с повторениями. Их количество обозначается
символом
и находится по формуле
(7)
Сочетания с
повторениями. Имеется
различных типов элементов (общее
количество элементов нас сейчас не
интересует). Из них составляются
сочетания, содержащие
элементов, причем в сочетаниях могут
встречаться элементы одного и того же
типа. Такие сочетания называются
сочетаниями с повторениями. Их число
обозначается символом
и находится по формуле
.
(8)